Рівняння Ейлера — Трікомі

У математиці, Рівняння Ейлера-Трікомі — це лінійне диференціальне рівняння з частинними похідними, яке використовується для вивчення трансзвукових потоків. Назване на честь Леонарда Ейлера та Франческо Джакомо Траконі.

Запис

${\displaystyle u_{xx}=xu_{yy}.\,}$

Це диференціальне рівняння гіперболічного типу на додатній півосі ${\displaystyle x>0}$, параболічне в точці ${\displaystyle x=0}$ і еліптичне на від'ємній півосі ${\displaystyle x<0}$. Його характеристики мають вигляд

${\displaystyle x\,dx^{2}=dy^{2},\,}$

які мають розв'язок (інтеграл)

${\displaystyle y\pm {\frac {2}{3}}x^{3/2}=C,}$

де C — стала інтегрування. Таким чином характеристики утворюють дві родини напівкубічних парабол, з зазубреннями на лінії ${\displaystyle x=0}$, криві на лежать справа від осі y.

Часткові розв'язки

До часткових розв'язків рівняння Ейлера-Трікомі належать

• ${\displaystyle u=Axy+Bx+Cy+D,\,}$
• ${\displaystyle u=A(3y^{2}+x^{3})+B(y^{3}+x^{3}y)+C(6xy^{2}+x^{4}),\,}$

де A, B, C, D — довільні сталі.

Рівняння Ейлера — Трікомі є граничною формою рівняння Чаплигіна.

Посилання

• Tricomi and Generalized Tricomi Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations. (англ.)

Література

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, 2002.(англ.)