Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Рівняння Лапласа

З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Remove ads

Рівня́ння Лапла́са — однорідне лінійне рівняння в часткових похідних другого порядку еліптичного типу.

.

Функції, які задовольняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.

Відповідне неоднорідне рівняння називається рівнянням Пуассона.

Remove ads

Інші форми запису рівняння Лапласа

Узагальнити
Перспектива

В циліндричних координатах:

Виведення

Циліндричні і прямокутні координати пов'язані так

Ми також можемо записати

і

Припустимо, є неперервною з неперервними першою і другою частковими похідними в деякій області Ми також можемо думати про , як про функцію від З ланцюгового правила і попередніх рівнянь, ми отримуємо

Тут ми скористались тим, що і незалежні, і записали

Подібно

Щоб обчислити другу похідну, диференціюємо далі відповідно щодо і

Зауважимо, що Тоді, застосовуючи ланцюгове правило щодо двох останніх доданків, отримуємо

У сферичних координатах:

Remove ads

Застосування у фізиці

  • Рівняння Лапласа описує електростатичне поле в просторі без електричних зарядів.
  • Рівнянням Лапласа описується стаціонарний розподіл температури у просторовому тілі.
  • Рівнянню Лапласа задовольняє потенціал гравітаційних хвиль на поверхні рідини.

Див. також

Посилання

Remove ads
Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads