Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи
Рівняння Лапласа
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Remove ads
Рівня́ння Лапла́са — однорідне лінійне рівняння в часткових похідних другого порядку еліптичного типу.
- .
Функції, які задовольняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.
Відповідне неоднорідне рівняння називається рівнянням Пуассона.
Remove ads
Інші форми запису рівняння Лапласа
Узагальнити
Перспектива
Виведення
Циліндричні і прямокутні координати пов'язані так
Ми також можемо записати
і
Припустимо, є неперервною з неперервними першою і другою частковими похідними в деякій області Ми також можемо думати про , як про функцію від З ланцюгового правила і попередніх рівнянь, ми отримуємо
Тут ми скористались тим, що і незалежні, і записали
Подібно
Щоб обчислити другу похідну, диференціюємо далі відповідно щодо і
Зауважимо, що Тоді, застосовуючи ланцюгове правило щодо двох останніх доданків, отримуємо
Remove ads
Застосування у фізиці
- Рівняння Лапласа описує електростатичне поле в просторі без електричних зарядів.
- Рівнянням Лапласа описується стаціонарний розподіл температури у просторовому тілі.
- Рівнянню Лапласа задовольняє потенціал гравітаційних хвиль на поверхні рідини.
Див. також
Посилання
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
- Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
- Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1000+ с.(укр.)
- Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Либідь, 1994. — 304 с. — ISBN 5-325-00351-X.(укр.)
- М.І.Жалдак, Г.О.Михалін, С.Я.Деканов. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — К. : НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. — 430 с.(укр.)
- E.T. Whittaker, G. N. Watson . A Course of Modern Analysis. — 5th. — Cambridge, 1902,1927. — 668 с.(англ.)
- Weisstein, Eric W. Рівняння Лапласа(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
![]() |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
Remove ads
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads