Сигма-кільце

У математиці непуста сім'я множин ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ називається σ-кільцем якщо вона є замкнутою щодо операцій зліченного об'єднання і доповнення множин.

Формальне означення

Нехай ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ — непуста сім'я множин. Тоді ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ є σ-кільцем якщо:

1. ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ якщо ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$ якщо ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$

Якщо в першій властивості замість зліченного об'єднання розглядати скінченне (тобто ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$ якщо ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$), тоді ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ є кільцем але не σ-кільцем. Таким чином σ-кільце є кільцем, що задовольняє умову зліченного об'єднання.

Властивості

Із цих двох властивостей відразу випливає

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ if ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Це є наслідком того, що ${\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }A_{n}=A_{1}\setminus \cup _{n=2}^{\infty }(A_{1}\setminus A_{n})}$.

Застосування в теорії міри

σ-кільця можна застосовувати замість σ-алгебр у теорії міри, якщо немає необхідності у вимірності універсальної множини.

σ-кільце ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ підмножин множини ${\displaystyle X}$ породжує σ-алгебру на ${\displaystyle X}$. Позначимо ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ сім'ю підмножин ${\displaystyle X,}$ що є елементами ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ або їх доповнення є елементами ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. Тоді ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ є σ-алгеброю підмножин ${\displaystyle X}$. Також ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ є мінімальною σ-алгеброю, що містить.

Див. також

• Дельта-кільце
• Кільце множин
• Сигма-алгебра

Література

• Walter Rudin, 1976. Principles of Mathematical Analysis, 3rd. ed. McGraw-Hill.