Система лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами

Система лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами — система звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, де похідні лінійно залежать від декількох функцій. Загальний вигляд:

${\displaystyle {\frac {dx_{j}}{dt}}=a_{j1}x_{1}+\ldots +a_{jn}x_{n}+b_{j},\qquad j=1,\ldots ,n}$,

або у векторному записі:

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A\,x} (t)+\mathbf {b} }$.

Розв'язання

Однорідна система

Для всіх лінійних диференціальних рівнянь діє принцип суперпозиції розвязків, тому шукаємо спочатку загальний розв'язок відповідної однорідної системи

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A\,x} (t)}$.

Як і в лінійних диференційних рівняннях зі сталими коефіцієнтами, використаємо ту саму здогадку Ейлера: якщо кожна похідна є сумою декількох функцій, і навпаки (кожна функція є сумою похідних інших функцій), то всі вони повинні бути одного виду, а це можливо лише для експонент (${\displaystyle f'=f}$). Шукатимемо розв'язки вигляду

${\displaystyle x_{j}=ce^{\lambda t}}$.

Щоб виконувався принцип суперпозиції розвязків, розв'язки шукатимемо лише серед власних векторів матриці ${\displaystyle \mathbf {A} }$:

${\displaystyle \mathbf {A\,x} =\lambda \mathbf {x} }$.

Для цього потрібно знайти:

1. всі власні значення ${\displaystyle \lambda _{j}}$ (корені характеристичного многочлена ${\displaystyle |\mathbf {A} -\lambda I|=0}$) та
2. відповідні до них власні вектори ${\displaystyle \mathbf {x_{j}:\ Ax_{j}} =\lambda \mathbf {x_{j}} }$.

Тоді базовими розв'язками будуть ${\displaystyle c_{j}\,e^{\lambda _{j}t}\mathbf {x_{j}} }$, які при підстановці в рівняння даватимуть тотожність:

${\displaystyle \mathbf {A} \,c_{j}\,e^{\lambda _{j}t}\mathbf {x_{j}} =c_{j}\,e^{\lambda _{j}t}\mathbf {A\,x} =c_{j}\,e^{\lambda _{j}t}\lambda _{j}\mathbf {x_{j}} =c_{j}\,\lambda _{j}e^{\lambda _{j}t}\mathbf {x_{j}} =\left(c_{j}\,e^{\lambda _{j}t}\right)'\mathbf {x_{j}} =\left(c_{j}\,e^{\lambda _{j}t}\mathbf {x_{j}} \right)'.}$

Загальний розвязок буде лінійною комбінацією всіх базисних розв'язків:

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {x} _{1}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {x} _{n}}$.

Неоднорідна система

Приклади

Приклад 1

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}=3x-4y,\\{\dot {y}}=4x-7y.\end{cases}}}$

Запишемо його у матричній формі

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}~.}$

Знайдемо власні значення:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}=\lambda ^{2}+4\lambda -5=(\lambda -1)(\lambda +5)=0}$

${\displaystyle \lambda =1,-5~.}$

Знайдемо власні вектори розв'язавши рівняння ${\displaystyle \mathbf {A\,x} =\lambda _{1}\mathbf {x} ~}$ та ${\displaystyle ~\mathbf {A\,x} =\lambda _{2}\mathbf {x} }$:

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}={\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {x} _{2}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

Отже загальним розв'язком буде:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=c_{1}e^{t}{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+c_{2}e^{-5t}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

Тобто:

${\displaystyle x=2c_{1}e^{t}+c_{2}e^{-5t}}$

${\displaystyle y=c_{1}e^{t}+2c_{2}e^{-5t}.}$

Джерела

• Крижанівський С.Є. Диференціальні рівняння. — Х.: : ДНТВУ.НКТП, 1938. — 398 с.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1400+ с.(укр.)

Категорія:Звичайні диференціальні рівняння