Спліт-кватерніон

Спліт-кватерніо́ни  — чотиривимірні гіперкомплексні числа виду ${\displaystyle \ a+bi+cj+dk}$ (вперше описані Джеймсом Коклі у 1849 році), де

${\displaystyle \ a,b,c,d}$ — дійсні числа,

${\displaystyle \ i,j,k}$ — уявні одиниці,

таблиця множення

	i	j	k
i	−1	k	−j
j	-k	1	-i
k	j	i	1

для яких виконується:

${\displaystyle \ i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1,\quad ij=k}$ — все як для тессарінів,

тільки замість комутативності (що приводить до ${\displaystyle k^{2}=-1}$), вимагається

${\displaystyle k^{2}=+1}$.

З цього отримуємо антикомутативність:

${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=&-ji&=&k,\\jk&=&-kj&=&-i,\\ki&=&-ik&=&j.\end{matrix}}}$

Дещо в іншій формі (із заміною k на -k) вони трапляються під назвою пара-кватерніони.

• Спліт-кватерніон як і тессаріни можна записати у вигляді ${\displaystyle \ (a+bi)+(c+di)j=A+Bj,}$ де

${\displaystyle \ A,B}$— комплексні числа.

• Кільце спліт-кватерніонів, на відміну від кватерніонів, містить дільники нуля, нільпотентні елементи й нетривіальні ідемпотентні елементи.

Пов'язані означення

Для спліт-кватерніона ${\displaystyle \,q=a+bi+cj+dk}$,

• спліт-кватерніон ${\displaystyle {\bar {q}}=a-bi-cj-dk}$ називається спряженим до ${\displaystyle \,q}$.

• Як і для комплексних чисел, модуль спліт-кватерніона визначається як: ${\displaystyle |q|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}}.}$

Діагональний базис

В тессарінів, як і в подвійних числах, присутня уявна одиниця ${\displaystyle \ j^{2}=+1,}$ отже, також існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

${\displaystyle e_{1}={1-j \over 2},\quad e_{2}={1+j \over 2}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}e_{1}e_{1}=e_{1}\\e_{2}e_{2}=e_{2}\\e_{1}e_{2}=0\end{cases}},}$

які можна використати як альтернативний базис:

${\displaystyle \ A+Bj=(A-B)e_{1}+(A+B)e_{2}={\Big (}a-c+(b-d)i{\Big )}e_{1}\;+\;{\Big (}a+c+(b+d)i{\Big )}e_{2}={\tilde {A}}e_{1}+{\tilde {B}}e_{2}}$

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ чи ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ рівні нулю.

Матричне представлення

Спліт-кватерніон може бути представлений у вигляді матриці 2×2 із комплексних чисел:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\c-di&a-bi\end{pmatrix}}}$

Джерела

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)