Спільна розгортка

У геометрії спільна розгортка — розгортка, з якої можна скласти кілька многогранників. Приклади спільних розгорток у дослідженнях датуються кінцем XX століття; попри це, їх знайдено небагато. Однак два класи досліджено глибоко: правильні многогранники та прямокутні паралелепіпеди. Знаходять спільні розгортки зазвичай або ретельним пошуком, або суміщаючи різні розгортки на площині.

Спільна розгортка для октаедра й тритетраедра^[1]

Demaine та ін., (2013) довели, що кожен опуклий многогранник можна розгорнути і знову скласти в інший опуклий многогранник.^[2]

Існують два типи спільних розгорток: зі строгим та вільним розгортанням ребер. Строге розгортання стосується спільних розгорток, де різні многогранники, які можна скласти, використовують однакові складки: щоб скласти один многогранник із розгортки іншого, немає потреби робити нові складки. Вільне розгортання стосується протилежного випадку, коли можна зробити стільки складок, скільки потрібно, щоб забезпечити складання різних многогранників.

Кратність спільних розгорток означає кількість спільних розгорток для одного й того ж набору многогранників.

Правильні многогранники

Відкрита задача 25.31 у книзі «Геометричні алгоритми згортання^[en]» Рурка^[en] та Демейна звучить так:

Чи можна будь-яке платонове тіло розрізати та розгорнути у многокутник, з якого потім можна скласти інше платонове тіло? Наприклад, чи можна розгорнути куб і скласти тетраедр?^[3]

Цю задачу частково розв'язали Ширакава та інші за допомогою фрактальної розгортки, з якої, як припускають, можна скласти тетраедр і куб.

Кратність	Многогранники 1	Многогранники 2	Примітка
	тетраедр	куб	[4]
87	тетраедр	гіроподовжена квадратна біпіраміда (J17)	[5]
37	тетраедр	кирпатий дисфеноїд[en] (J84)	[5]
	куб	тетрамоноедр	[6]
	куб	прямокутні паралелепіпеди 1x1x7 та 1x3x3	[7]
	куб	неправильний октаедр	[4]
	октаедр	тетрамоноедр	[8]
	октаедр	тетрамоноедр	[6]
	октаедр	тритетраедр	[9]
	ікосаедр	тетрамоноедр	[6]

Неправильні многогранники

Кубоїди

Спільна розгортка прямокутних паралелепіпедів 1x1x5 та 1x2x3

Спільні розгортки кубоїдів глибоко дослідили Уехара та його колеги. Наразі знайдено спільні розгортки, з яких можна скласти до трьох прямокутних паралелепіпедів. Однак доведено, що існує нескінченна кількість розгорток, з яких можна скласти більше ніж один многогранник.^[10]

Площа	Кратність	Кубоїд 1	Кубоїд 2	Кубоїд 3	Reference
22	6495	1x1x5	1x2x3		[11]
22	3	1x1x5	1x2x3	0x1x11	[12]
28		1x2x4	√2x√2x3√2		[12]
30	30	1x1x7	1x3x3	√5x√5x√5	[13]
30	1080	1x1x7	1x3x3		[13]
34	11291	1x1x8	1x2x5		[11]
38	2334	1x1x9	1x3x4		[11]
46	568	1x1x11	1x3x5		[11]
46	92	1x2x7	1x3x5		[11]
54	1735	1x1x13	3x3x3		[11]
54	1806	1x1x13	1x3x6		[11]
54	387	1x3x6	3x3x3		[11]
58	37	1x1x14	1x4x5		[11]
62	5	1x3x7	2x3x5		[11]
64	50	2x2x7	1x2x10		[11]
64	6	2x2x7	2x4x4		[11]
70	3	1x1x17	1x5x5		[11]
70	11	1x2x11	1x3x8		[11]
88	218	2x2x10	1x4x8		[11]
88	86	2x2x10	2x4x6		[11]
160		4x4x8	√10x2√10x2√10		[12]
532		7x8x14	2x4x43	2x13x16	[14]
1792		7x8x56	7x14x38	2x13x58	[14]

*Неортогональні складки

Полікуби

Перші знайдені випадки спільних розгорток полікубів наведено у праці Джорджа Міллера з пізнішим внеском Дональда Кнута, який завершився головоломкою Кубігамі.^[15] Вона являє собою розгортку, з якої можна скласти всі 7 деревоподібних тетракубів. Знайдено всі можливі спільні розгортки аж до пентакубів. У всіх розгортках дотримано строгого ортогонального згортання, попри те, що їх усе ж вважають вільними розгортками.

Площа	Кратність	Многогранники	Довідка
14	29026	всі трикуби	[16]
14		всі трикуби	[11]
18	68	всі деревоподібні тетракуби[15]
22		23 пентакуби	[17]
22	3	22 деревоподібні пентакуби	[17]
22	1	неплоскі пентакуби	[17]

Дельтаедри

Дельтаедри — тривимірні симпліційні політопи.

Площа	Кратність	Багатогранники	Довідка
8	1	обидва 8-гранні дельтаедри	[9]
10	4	7-вершинний дельтаедр	[18]