Стала Каталана

Стала Каталана (англ. Catalan's constant) — число, що зустрічається в різних застосуваннях математики, зокрема, в комбінаториці. Найчастіше позначається літерою G, рідше — K або C. Може бути визначена як сума нескінченного знакозмінного ряду:

${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots }$

Стала Каталана
Названо на честь	Ежен Шарль Каталанd
Розмірність	${\displaystyle 1}$
Числове значення	0,915965594177[1]
Формула	${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \!}$
Позначення у формулі	${\displaystyle \beta }$
Символ величини (LaTeX)	${\displaystyle G}$

Не плутати з Число Каталана.

Її числове значення наближено дорівнює^[2]:

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (послідовність A006752 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Невідомо, чи є G раціональним, чи ірраціональним числом.

Сталу Каталана названо на честь бельгійського математика Ежена Шарля Каталана^[ru].

Зв'язок з іншими функціями

Стала Каталана є частковим випадком бета-функції Діріхле^[ru]:

${\displaystyle G=\beta (2)\;.}$

Вона також відповідає частковому значенню функції Клаузена, пов'язаної з уявною частиною дилогарифму

${\displaystyle G=\mathrm {Cl} _{2}(\pi /2)\;=\mathrm {Im} \left(\mathrm {Li} _{2}(e^{\mathrm {i} \pi /2})\right)=\mathrm {Im} \left(\mathrm {Li} _{2}({\mathrm {i} })\right)\;.}$

Крім цього, вона пов'язана зі значеннями тригама-функції) дробових аргументів

${\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,}$

так що

${\displaystyle G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right]\;.}$

Симон Плуфф відшукав нескінченну множину тотожностей між тригама-функцією ${\displaystyle \psi _{1}}$, ${\displaystyle \pi ^{2}}$ і сталою Каталана G.

Сталу Каталана також можна виразити через часткові значення G-функції Барнса^[ru] і гамма-функції:

${\displaystyle G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8}})G({\tfrac {7}{8}})}{G({\tfrac {1}{8}})G({\tfrac {5}{8}})}}\right)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8}})}{\Gamma ({\tfrac {1}{8}})}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\ln \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\,(2-{\sqrt {2}})}}\right).}$

Інтегральні подання

Нижче наведено деякі інтегральні подання сталої Каталана G через інтеграли від елементарних функцій:

${\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\;,}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\;,}$

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\;,}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx\;,}$

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx\;.}$

Вона також може бути подана через інтеграл від повного еліптичного інтеграла першого роду K(x),

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx\;.}$

Швидко збіжні ряди

Наведені формули містять швидко збіжні ряди, і їх зручно використовувати для чисельних розрахунків:

${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.}$

і

Теоретичне обґрунтування використання рядів такого типу дали Срініваса Рамануджан для першої формули^[3] і Девід Бродгерст (David J. Broadhurst) для другої формули^[4]. Алгоритми швидкого обчислення сталої Каталана побудувала К. А. Карацуба^[5][6].

Ланцюгові дроби

Ланцюговий дріб сталої Каталана (послідовність A014538 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) має такий вигляд:

${\displaystyle G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9,3,1,1,1,1,1,1,\dots ]=}$

${\displaystyle =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots }}}}}}}}\;}$

Відомі такі узагальнені ланцюгові дроби для сталої Каталана:

${\displaystyle 2G=2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{3+{\cfrac {4^{2}}{1+{\cfrac {4^{2}}{3+{\cfrac {6^{2}}{1+{\cfrac {6^{2}}{3+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {4n^{2}}{1+{\cfrac {4n^{2}}{3+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle 2G=1+{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1\cdot 2}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2\cdot 3}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {3^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {n\cdot (n+1)}{{\cfrac {1}{2}}+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}$^[7]

Обчислення десяткових цифр

Число відомих значущих цифр сталої Каталана G значно зросло за останні десятиліття, завдяки як збільшенню комп'ютерних потужностей, так і поліпшенню алгоритмів^[8].

Число відомих значущих цифр сталої Каталана G

Дата	Число значущих цифр	Автори обчислення
1865	14	Ежен Шарль Каталан
1877	20	Джеймс Вітбред Лі Глейшер[ru]
1913	32	Джеймс Вітбред Лі Глейшер
1990	20,000	Грег Фі (Greg J. Fee)
1996	50,000	Грег Фі
1996, 14 серпня	100,000	Грег Фі і Симон Плуфф[en]
1996, 29 вересня	300,000	Томас Папаніколау (Thomas Papanikolaou)
1996	1,500,000	Томас Папаніколау
1997	3,379,957	Патрік Демішель (Patrick Demichel)
1998, 4 січня	12,500,000	Ксав'єр Гурдон (Xavier Gourdon)
2001	100,000,500	Ксав'єр Гурдон і Паскаль Себа (Pascal Sebah)
2002	201,000,000	Ксав'єр Гурдон і Паскаль Себа
2006, жовтень	5,000,000,000	Шиґеру Кондо (Shigeru Kondo) і Стів Пальяруло (Steve Pagliarulo)
2008, серпень	10,000,000,000	Шиґеру Кондо і Стів Пальяруло[9]
2009, 31 січня	15,510,000,000	Александер Йї (Alexander J. Yee) і Реймонд Чен (Raymond Chan)[10]
2009, 16 квітня	31,026,000,000	Александер Йї і Реймонд Чен

Див. також

• Дзета-функція Рімана
• Бета-функція Діріхле