Стична площина

У математиці, особливо в диференціальній геометрії, стична площина (англ. osculating plane) є площиною в евклідовому або в афінному просторі, яка стикається з підмноговидом у точці таким чином, щоб був дотик другого порядку в цій точці.

Репер Френе-Серрі для кривої в просторі і стична площина натягнута на вектори T і N.

Дотична площина в евклідовому просторі може бути описана в термінах формул Френе-Серрі як лінійна оболонка дотичного і нормального векторів.

Стична площина кривої

У евклідовому просторі, площина π називається стичною площиною кривої в точці P, якщо

${\displaystyle \lim _{Q\to P}{\frac {h}{d^{2}}}=0,}$

де Q — точка на кривій, d — відстань від точки Q до площини π^[1].

Відомо, що у кожній точці C²-регулярної кривої існує стична площина. Якщо для радіус-вектора ${\displaystyle r}$ кривої, вектори ${\displaystyle r'}$ і ${\displaystyle r''}$ в точці P не колінеарні, то стична площина єдина. В іншому випадку, будь-яка площина, що проходить через дотичну в точці P, є стичною в цій точці.

Нехай крива задається радіус-вектором ${\displaystyle r(t)}$. Точці P відповідає значення параметру ${\displaystyle t=t_{0}}$. Тоді вектором нормалі стичної площини в точці P буде вектор ${\displaystyle r'(t_{0})\times r''(t_{0})}$, а рівняння стичної площини буде

${\displaystyle \langle R-r(t_{0}),r'(t_{0})\times r''(t_{0})\rangle =0}$

або

${\displaystyle \left(R-r(t_{0}),r'(t_{0}),r''(t_{0})\right)=0.}$

В координатному вигляді рівняння стичної площини до кривої, заданої параметричним рівнянням ${\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t))}$, у точці ${\displaystyle (x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))}$ має вигляд:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}X-x(t_{0})&Y-y(t_{0})&Z-z(t_{0})\\x'(t_{0})&y'(t_{0})&z'(t_{0})\\x''(t_{0})&y''(t_{0})&z''(t_{0})\end{vmatrix}}=0}$