Сферичний надлишок

Сфери́чний на́длишок або ексце́с сфери́чного трику́тника — величина в сферичній тригонометрії, яка показує, наскільки сума кутів сферичного трикутника перевищує розгорнутий кут.

Сферичний трикутник

Визначення

Позначимо A, B, C радіанні міри кутів сферичного трикутника. Тоді сферичний надлишок

${\displaystyle \varepsilon =A+B+C-\pi }$

Властивості та обчислення

• Оскільки в будь-якому сферичному трикутнику, на відміну від трикутника на площині, сума кутів завжди більша від π, то надлишок завжди додатний. Зверху він обмежений числом 2π, тобто завжди менший від цього числа^[1]:15.
• Для обчислення надлишку сферичного трикутника зі сторонами a, b, c використовується формула Люїльє^[ru]:94:

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\varepsilon }{4}}={\sqrt {\operatorname {tg} {\frac {p}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-a}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-b}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-c}{2}}}},p={\frac {a+b+c}{2}}}$

• Для обчислення надлишку сферичного трикутника за сторонами a, b і кутом C між ними використовується формула^[1]:95:

${\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\varepsilon }{2}}={\frac {\operatorname {ctg} {\frac {a}{2}}\operatorname {ctg} {\frac {b}{2}}+\cos C}{\sin C}}}$

Застосування

• Надлишок сферичного трикутника застосовується пвд час обчислення його площі, оскільки ${\displaystyle S=R^{2}\varepsilon }$ (тут ${\displaystyle R}$ — радіус сфери, на якій лежить сферичний трикутник, а надлишок виражено в радіанах)^[1]:99.
• Тілесний кут тригранного кута виражається за теоремою Люїльє через його плоскі кути ${\displaystyle \theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}}$ при вершині, як:

${\displaystyle \Omega =4\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}$, де ${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}$ — півпериметр.

Через двогранні кути ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ тілесний кут виражається, як:

${\displaystyle \Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi }$