Теорема Діріхле про арифметичні прогресії

Теорема Діріхле про прості числа в арифметичній прогресії — важлива теорема у аналітичній теорії чисел, вперше доведена німецьким математиком Йоганном Петером Густавом Лежен-Діріхле.

Твердження теореми

Нехай ${\displaystyle l,k>0}$ — цілі числа, і ${\displaystyle (l,k)=1}$ (тобто ${\displaystyle l,k}$ є взаємно простими).

Тоді існує нескінченна кількість простих чисел ${\displaystyle p}$ таких, що ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$.

З цього випливає, що кожна нескінченна арифметична прогресія, перший член і різниця якої — натуральні взаємно прості числа, містить нескінченну кількість простих чисел.

Історія доведень

Теорема в даному формулюванні була доведена Діріхле аналітичними засобами у 1837 році. Надалі були знайдені доведення теореми елементарними методами^[1]. Різні такі доведення знайшли Мертенс, Сельберг і Цассенхаус.

Приклади

Нижче подані приклади кількох арифметичних прогресій і найменших простих чисел у цих прогресіях

Арифметична прогресія	10 найменших простих чисел	Послідовність у OEIS
2n + 1	3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …	послідовність A065091 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
4n + 1	5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, …	послідовність A002144 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
4n + 3	3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, …	послідовність A002145 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
6n + 1	7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, …	послідовність A002476 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
6n + 5	5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, …	послідовність A007528 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
8n + 1	17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, …	послідовність A007519 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
8n + 3	3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139, …	послідовність A007520 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
8n + 5	5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, …	послідовність A007521 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
8n + 7	7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167, …	послідовність A007522 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
10n + 1	11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, …	послідовність A030430 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
10n + 3	3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, …	послідовність A030431 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
10n + 7	7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, …	послідовність A030432 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
10n + 9	19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, …	послідовність A030433 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
12n + 1	13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, …	послідовність A068228 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
12n + 5	5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, …	послідовність A040117 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
12n + 7	7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, …	послідовність A068229 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
12n + 11	11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, …	послідовність A068231 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Варіації

При розгляді простих ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$ досить часто виявляється, що їх множина має багато властивостей множини всіх простих чисел. Існує чимало теорем і гіпотез, що розглядають тільки прості числа з певного класу лишків або співвідношення множин простих чисел з різних класів лишків.

Наприклад, крім основного твердження теореми Діріхле довів у 1839 році, що для будь-яких фіксованих натуральних взаємно простих чисел ${\displaystyle l}$ і ${\displaystyle k}$ :

${\displaystyle \lim _{s\to 1+}{\frac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}={\frac {1}{\varphi (k)}},}$

де сума є по всіх простих числах ${\displaystyle p}$ з умовою ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$, а ${\displaystyle \varphi }$ — функція Ейлера.

Це співвідношення можна інтерпретувати як закон рівномірного розподілу простих чисел за класами лишків ${\displaystyle \mod k}$, оскільки

${\displaystyle \lim _{s\to 1+}{\dfrac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}=1,}$

якщо сума є по всіх простих числах.

Відомо, що для будь-яких взаємно простих чисел ${\displaystyle l}$ і ${\displaystyle k}$ ряд ${\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}}$, де сума є по простих ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$ є розбіжним.