Теорема Діріхле про оборотні елементи

Теорема Діріхле про оборотні елементи — теорема алгебраїчної теорії чисел, що описує підгрупу оборотних елементів (які також називаються одиницями) кільця алгебраїчних цілих чисел ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ числового поля ${\displaystyle K}$.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle K}$ — числове поле (тобто скінченне розширення ${\displaystyle \mathbb {Q} }$), а ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ — його кільце цілих чисел і ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{*}}$ — група його оборотних елементів. Тоді ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{*}}$ є ізоморфною скінченнопородженій абелевій групі ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}\times G}$, де ${\displaystyle G}$ — циклічна група коренів одиниці, що належать ${\displaystyle K}$, а ${\displaystyle d=r+s-1}$, де ${\displaystyle r}$ — число різних вкладень ${\displaystyle K}$ в поле дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, а ${\displaystyle s}$ — число пар комплексно-спряжених різних вкладень в ${\displaystyle \mathbb {C} }$, які не є дійсними.

Наслідки і узагальнення

Зокрема, оскільки для розширення степеня n, ${\displaystyle r+2s=n}$, то ${\displaystyle d\leq n-1}$, і рівність виконується тоді і тільки тоді, коли всі вкладення ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ є вкладення в поле дійсних чисел.

Існування нетривіальних цілих розв'язків рівняння Пелля ${\displaystyle x^{2}-my^{2}=1}$ випливає з теореми, застосованої до ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {m}})}$ - квадратичного розширенню ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Випадок групи оборотних елементів максимального рангу пов'язаний ^[1] з багатовимірними ланцюговими дробами.

Доведення

Впорядкуємо всі вкладення числового поля ${\displaystyle K}$ в поле комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ так, що перші ${\displaystyle r}$ вкладень ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{r}}$ є вкладеннями у поле дійсних чисел, а ${\displaystyle \sigma _{i}}$ і ${\displaystyle \sigma _{i+s}}$ для всіх ${\displaystyle r+1\leqslant i\leqslant r+s}$ є парами комплексно спряжених вкладень, що не є дійсними. Також введемо вкладення ${\displaystyle K\to \mathbb {R} ^{n}}$ задане як ${\displaystyle \alpha \to (\sigma _{1}(\alpha ),\ldots ,\sigma _{r}(\alpha ),\Re (\sigma _{r+1}(\alpha )),\ldots ,\Re (\sigma _{r+s}(\alpha )),\Im (\sigma _{r+1}(\alpha )),\ldots ,\Im (\sigma _{r+s}(\alpha )))}$.

Відображення ${\displaystyle L:{\mathcal {O}}_{K}^{*}\to \mathbb {R} ^{r+s}}$ задане як ${\displaystyle \alpha \mapsto {\big (}\log |\sigma _{1}(\alpha )|,\cdots ,\log |\sigma _{r}(\alpha )|,2\log |\sigma _{r+1}(\alpha )|,\ldots ,2\log |\sigma _{r+s}(\alpha )|{\big )}}$ є гомоморфізмом із ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{*}}$ у гіперплощину ${\displaystyle Y_{1}+\ldots +Y_{r+s}=0}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r+s}}$ (позначимо її ${\displaystyle Y}$). Його ядро складається з елементів ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{*}}$ для яких ${\displaystyle |\sigma (\alpha )|=1}$ для всіх вкладень ${\displaystyle \sigma }$. У стандартній топології на ${\displaystyle K}$ ядро є обмеженою підмножиною дискретної множини ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{*}}$ і тому є скінченною підгрупою. Якщо її порядок є рівним ${\displaystyle N}$ то кожен його елемент є коренем одиниці N-ого степеня. То ядро є циклічною групою оскільки воно є підгрупою циклічної групи всіх коренів з одиниці степеня ${\displaystyle N}$.

Залишається довести, що образ відображення ${\displaystyle L}$ є ґраткою у гіперплощині ${\displaystyle Y}$. Нехай ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ — обмежений окіл початку координат у гіперплощині ${\displaystyle Y}$. Для точок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{*}}$ що відображаються у ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ всі ${\displaystyle |\sigma (\alpha )|}$ є обмеженими, тож у стандартній топології вони належать перетину ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{*}}$ і деякої обмеженої множини. Тому їх кількість є скінченною. Як наслідок образ відображення ${\displaystyle L}$ є дискретною підмножиною у гіперплощині ${\displaystyle Y}$.

Необхідно довести, що лінійною оболонкою цього образу є вся гіперплощина ${\displaystyle Y}$. Для доведення цього факту достатньо довести твердження:

Для довільних дійсних чисел ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r+s}}$ що не є всі рівними між собою, існує елемент ${\displaystyle \nu \in {\mathcal {O}}_{K}^{*}}$ для якого ${\displaystyle f(\nu )=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\log |\sigma _{i}(\nu )|+2\sum _{i=r+1}^{r+s}\lambda _{i}\log |\sigma _{i}(\nu )|\neq 0}$.

Нехай ${\displaystyle \rho _{1},\ldots ,\rho _{r+s}}$ — додатні дійсні числа, такі що ${\displaystyle \prod _{i=1}^{r+s}\rho _{i}=\left({\frac {2}{\pi }}\right){\sqrt {|d|}}=A}$, де d є дискримінантом поля K. Множина ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ задана нерівностями ${\displaystyle X_{i}\leqslant \rho _{i}}$, для ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant r}$, i ${\displaystyle |X_{i}^{2}+X_{i+s}^{2}|\leqslant \rho _{i}}$ для ${\displaystyle r<i\leqslant r+s}$ є обмеженою, замкнутою, опуклою і симетричною щодо початку координат; її об'єм є рівним ${\displaystyle 2^{r+s}{\sqrt {|d|}}}$. Згідно теореми Мінковського існує ненульове ціле число у полі ${\displaystyle K}$ для якого ${\displaystyle |\sigma _{i}(\alpha )|\leqslant \rho _{i}}$ для всіх вкладень. Тоді також з означень ${\displaystyle \operatorname {Norm} _{K/\mathbb {Q} }(\alpha )\leqslant A}$.

Оскільки також ${\displaystyle \operatorname {Norm} _{K/\mathbb {Q} }(\alpha )\geqslant 1}$, то

${\displaystyle |\sigma _{i}(\alpha )|=\operatorname {Norm} _{K/\mathbb {Q} }(\alpha )\cdot \prod _{j\neq i}|\sigma _{i}(\alpha )|^{-1}\geqslant \prod _{j\neq i}\rho _{j}=A^{-1}\rho _{i},\ \ \ 1\leqslant i\leqslant r}$

і подібним чином

${\displaystyle |\sigma _{i}(\alpha )|^{2}=|X_{i}^{2}+X_{i+s}^{2}|\geqslant A^{-1}\rho _{i}\ \ \ r<i\leqslant r+s}$.

Зважаючи на ці обмеження ${\displaystyle 0\leqslant \log \rho _{i}-\log |\sigma _{i}(\alpha )|\leqslant \log A,\ 1\leqslant i\leqslant r}$і ${\displaystyle 0\leqslant \log \rho _{i}-2\log |\sigma _{i}(\alpha )|\leqslant \log A,\ r<i\leqslant r+s}$. І зокрема ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r+s}\lambda _{i}\log \rho _{i}-f(\alpha )\leqslant (\log A)\sum |\lambda _{i}|}$.

Назвемо ${\displaystyle \alpha _{l},\alpha _{2}\in {\mathcal {O}}_{K}}$ еквівалентними якщо ${\displaystyle \alpha _{l}/\alpha _{2}}$ є елементом ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{*}}$. Елементи у класі еквівалентності породжують певний головний ідеал і з точністю до знаку їхня норма є нормою цього головного ідеалу. Тож існує лише скінченна кількість класів еквівалентності норми яких є обмеженими ${\displaystyle A}$. Нехай ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}$ — представники цих класів. Введений вище елемент ${\displaystyle \alpha }$ лежить в одному з таких класів, тож ${\displaystyle \nu =\alpha /\beta _{i}}$, є оборотним елементом для деякого i.

Але ${\displaystyle f(\nu )=f(\alpha )-f(\beta _{i})}$ і це відрізняється від ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r+s}\lambda _{i}\log \rho _{i}}$ щонайбільше на ${\displaystyle B=|f(\beta _{i})|+(\log A)\sum |\lambda _{i}|}$, що не залежить від чисел ${\displaystyle \rho }$. Можна обрати ${\displaystyle \rho }$ так щоб на додачу до попередніх умов також ${\displaystyle |\sum _{i=1}^{r+s}\lambda _{i}\log \rho _{i}|>B}$. Тоді ${\displaystyle f(\nu )\neq 0.}$