Теорема Ейлера про чотирикутник

Теорема Ейлера про чотирикутник (також закон Ейлера для чотирикутників) — теорема планіметрії, названа на честь Леонарда Ейлера, яка описує співвідношення між сторонами опуклого чотирикутника і його діагоналями. Теорема є узагальненням тотожності паралелограма, яку, в свою чергу, можна розглядати як узагальнення теореми Піфагора; тому іноді використовують назву теорема Ейлера — Піфагора.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

Теорема і окремі випадки

Для опуклого чотирикутника зі сторонами ${\displaystyle a,b,c,d}$ і діагоналями ${\displaystyle e}$ і ${\displaystyle f}$, середини яких з'єднані відрізком ${\displaystyle g}$, виконується рівність:

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$$

Якщо чотирикутник є паралелограмом, то середні точки діагоналей збігаються і довжина відрізка ${\displaystyle g}$, що з'єднує їх, дорівнює 0. Крім того, у паралелограма довжини паралельних сторін рівні, отже, в такому випадку теорема Ейлера зводиться до формули:

$${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}}$$

яку називають тотожністю паралелограма.

Якщо чотирикутник є прямокутником, то рівність ще спрощується, оскільки тепер дві діагоналі рівні:

$${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}}$$

Ділення на 2 дає теорему Ейлера — Піфагора:

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}$$

Іншими словами: для прямокутника відношення сторін чотирикутника і його діагоналей описує теорема Піфагора^[1].

Альтернативні формулювання та розширення

Теорема Ейлера для паралелограма

Ейлер вивів описану вище теорему як наслідок іншої теореми, яка, з одного боку, менш елегантна, оскільки вимагає додавання ще однієї точки, але, з іншого боку, дає більше розуміння властивостей чотирикутника.

Для заданого опуклого чотирикутника ${\displaystyle ABCD}$ Ейлер увів додаткову точку ${\displaystyle E}$, таку, що ${\displaystyle ABED}$ утворює паралелограм; тоді виконується така рівність:

$${\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}}$$

Відстань ${\displaystyle |CE|}$ між додатковою точкою ${\displaystyle E}$ і точкою ${\displaystyle C}$ чотирикутника, відповідає відрізку, який не є частиною паралелограма. Довжину цього відрізка можна розглядати як міру відмінності розглянутого чотирикутника від паралелограма, або, іншими словами, як міру правильності члена ${\displaystyle |CE|^{2}}$ у початковій рівності тотожності паралелограма^[2].

Оскільки точка ${\displaystyle M}$ є серединою відрізка ${\displaystyle AC}$, то отримуємо ${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2}$. Точка ${\displaystyle N}$ є серединою відрізка ${\displaystyle BD}$, і вона також є серединою відрізка ${\displaystyle AE}$, оскільки ${\displaystyle AE}$ і ${\displaystyle BD}$ є діагоналями паралелограма ${\displaystyle ABED}$. Звідси отримуємо ${\displaystyle {\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2}$, і, отже, ${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}}$. Із теореми Фалеса (і оберненої) випливає, що ${\displaystyle CE}$ і ${\displaystyle NM}$ паралельні. Тоді ${\displaystyle |CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}}$, звідки й випливає теорема Ейлера^[2].

Теорему Ейлера можна розширити на множину чотирикутників, яка включає перетинні і непланарні. Вона виконується для так званих узагальнених чотирикутників, які складаються з чотирьох довільних точок у просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, пов'язаних ребрами з утворенням циклічного графу^[3].