Теорема Лестер

Теорема Лестер - твердження в геометрії трикутника, згідно з яким у будь-якому різнобічному трикутнику дві точки Ферма, центр дев'яти точок і центр описаного кола лежать на одному колі (колі Лестер). Названа ім'ям канадської математикині Джун Лестер (June Lester).

Точки Ферма ${\displaystyle X_{13},X_{14}}$, центр ${\displaystyle X_{5}}$ кола дев'яти точок (світло-блакитного), і центр описаного кола ${\displaystyle X_{3}}$ зеленого трикутника лежать на колі Лестер (чорне).

Доведення

Доведення Гіберта за допомогою гіперболи Кіперта

Теорема про коло Лестер випливає з загальнішого твердження Б. Гіберта (2000), а саме, що будь-яке коло, діаметр якого є хордою гіперболи Кіперта трикутника і перпендикулярний до його прямої Ейлера, проходить через точки Ферма^[1][2].

Лема Дао на прямокутній гіперболі

Теорема Дао про прямокутну гіперболу

2014 року Дао Танх Оай (Đào Thanh Oai) показав, що результат Гіберта випливає з властивостей прямокутних гіпербол. А саме, нехай точки ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle G}$ лежать на одній гілці прямокутної гіперболи ${\displaystyle S}$, а ${\displaystyle F_{+}}$ і ${\displaystyle F_{-}}$ - дві точки на ${\displaystyle S}$, симетричні відносно її центру (точки-антиподи), в яких дотичні прямі до ${\displaystyle S}$ паралельні прямій ${\displaystyle HG}$.

Нехай ${\displaystyle K_{+}}$ і ${\displaystyle K_{-}}$ - дві точки на гіперболі, дотичні прямі в яких перетинаються в точці ${\displaystyle E}$ на прямій ${\displaystyle HG}$. Якщо пряма ${\displaystyle K_{+}K_{-}}$ перетинає ${\displaystyle HG}$ в точці ${\displaystyle D}$, і перпендикуляр у середині відрізка ${\displaystyle DE}$ перетинає гіперболу в точках ${\displaystyle G_{+}}$ і ${\displaystyle G_{-}}$, то шість точок ${\displaystyle F_{+},F_{-},E,F,G_{+},G_{-}}$ лежать на одному колі^[3].

Щоб отримати теорему Лестер із цього результату, слід взяти як ${\displaystyle S}$ гіперболу Кіперта трикутника, як точки ${\displaystyle F_{+},F_{-}}$ - точки Ферма, точками ${\displaystyle K_{+},K_{-}}$ будуть внутрішня і зовнішня точки Вектена, точками ${\displaystyle H,G}$ будуть ортоцентр і центроїд трикутника^[3].

Див. також

• Коло Паррі
• Точка Паррі