Точки Вектена

У планіметрії зовнішня і внутрішня точки Вектена — точки, які будуються на основі даного трикутника аналогічно першій і другій точкам Наполеона. Однак для побудови вибираються центри не рівносторонніх трикутників, а квадратів, побудованих на сторонах даного трикутника (див. рис.).

Зовнішня і внутрішня точки Вектена

Зовнішня точка Вектена

Нехай ABC — довільний трикутник. На його сторонах BC, CA, AB назовні побудуємо три квадрати відповідно з центрами ${\displaystyle O_{a},O_{b},O_{c}}$. Тоді лінії ${\displaystyle AO_{a},BO_{b}}$, ${\displaystyle BO_{b}}$ і ${\displaystyle CO_{c}}$ перетинаються в одній точці, званій зовнішньою точкою Вектена трикутника ABC.

В Енциклопедії центрів трикутника зовнішня точка Вектена позначається як X (485)^[1].

Історія

Зовнішню точку Вектена названо так на початку XIX століття на честь французького математика Вектена, який вивчав математику в один час з Жергоном^[ru] в Німі й опублікував своє дослідження про фігуру у вигляді трьох квадратів, побудованих на трьох сторонах трикутника 1817 року^[2]. За іншими даними, це сталося в 1812/1813 роках. При цьому посилаються на роботу^[3].

Внутрішня точка Вектена

Нехай ABC — довільний трикутник. На його сторонах BC, CA, AB назовні побудуємо три квадрати відповідно з центрами ${\displaystyle I_{a},I_{b},I_{c}}$. Тоді лінії ${\displaystyle AI_{a},BI_{b}}$ і ${\displaystyle CI_{c}}$ перетинаються в одній точці, званій внутрішньою точкою Вектена трикутника ABC.

В Енциклопедії центрів трикутника внутрішня точка Вектена позначається як X(486)^[1].

Пряма ${\displaystyle X(485)X(486)}$ перетинає пряму Ейлера в центрі дев'яти точок трикутника ${\displaystyle ABC}$. Точки Вектена лежать на гіперболі Кіперта.

Положення на гіперболі Кіперта

Координата зовнішньої і внутрішньої точок Вектена можна отримати з рівняння гіперболи Кіперта за значень кута ${\displaystyle \theta }$ при основах трикутників відповідно π/4 і -π/4.

Асоціації

Малюнок вище для побудови зовнішньої точки Вектена у разі, якщо вона проводиться для прямокутного трикутника, збігається з малюнком одного з доведень теореми Піфагора (див. на рис. нижче так звані піфагорові штани).

Піфагорові штани. Сума площ квадратів, побудованих на катетах ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі ${\displaystyle c}$

Піфагорові штани. Креслення до доведення Евкліда. Основний напрямок доведення — встановлення конгруентності ${\displaystyle \triangle ACK\cong \triangle ABD}$, площа яких становить половину площі прямокутників ${\displaystyle AHJK}$ і ${\displaystyle ACED}$ відповідно.

Див. також

• Точки Наполеона — пара центрів трикутника, побудованих аналогічним способом з використанням замість квадратів рівносторонніх трикутників