Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Лінія Ейлера

З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Лінія Ейлера
Remove ads

В геометрії пряма Ейлера, названа на честь Леонарда Ейлера, — це пряма, яка визначена для будь-якого трикутника відмінного від рівностороннього. Вона є центральною прямою[en] трикутника і проходить через кілька важливих точок, які визначаються по трикутнику, включаючи ортоцентр, описане коло, центроїд, точку Ексетера[en] та центр кола дев'яти точок трикутника[1].

Thumb
Пряма Ейлера (червона) — це пряма, яка проходить через центроїд (помаранчевий), ортоцентр (синій), центр описаного кола (зелений) та центр кола дев'яти точок (червоний).

Поняття прямої Ейлера в трикутнику поширюється на пряму Ейлера для інших фігур, такі як чотирикутник і тетраедр.

Remove ads

Центри трикутника на прямій Ейлера

Узагальнити
Перспектива

Окремі центри

У 1765 році Ейлер показав, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, центр описаного кола та центроїд лежать на одній прямій[2]. Ця властивість справедлива і для іншого центра трикутника, центра кола дев'яти точок, хоча він не був визначений за часів Ейлера. У рівносторонніх трикутниках ці чотири точки збігаються, але в будь-якому іншому трикутнику всі вони відрізняються один від одного, і пряма Ейлера визначається будь-якими двома з них.

Інші визначні точки, які лежать на прямій Ейлера, включають точку Лонгшампа[en], точку Шифлера[en], точку Ексетера[en] та перспектор Госсара[en][1]. Однак центр вписаного кола, зазвичай, не лежить на прямій Ейлера[3]; він знаходиться на прямій Ейлера лише для рівнобедрених трикутників[4], для якої пряма Ейлера збігається з віссю симетрії трикутника і містить усі центри трикутника.

Тангенціальний трикутник опорного трикутника дотичний до кола описаного навколо останнього у вершинах опорного трикутника. Цент кола описаного навколо дотичного трикутника лежить на прямій Ейлера опорного трикутника[5]:p. 447[6]:p.104,#211;p.242,#346. Центр подібності[en] ортичного трикутника (утвореного основами висот) та дотичного трикутника також знаходиться на прямій Ейлера[5]:p. 447[6]:p. 102.

Векторне доведення

Розглянемо трикутник . Довести, що центр описаного кола , центроїд та ортоцентр є колінеарними, можна за допомогою векторів. По-перше, задовольняє відношенню:

Це випливає з того, що модулі барицентричних координат відносяться як . Далі, задача Сильвестра[7] інтерпретується як

Тепер, за допомогою векторного додавання, отримаємо, що

Додаючи усі ці три вирази, отримаємо, що

Остаточно, і три точки , і (у такій послідовності) будуть колінеарними.

У книзі Доррі[7] пряма Ейлера та проблема Сильвестра об'єднані в одне доведення. Однак більшість доказів задачі Сильвестра спираються на основні властивості вільних векторів, незалежно від прямої Ейлера.

Відстані між центрами

На прямій Ейлера центроїд знаходиться між центром описаного кола і ортоцентром , і вдвічі далі від ортоцентра, ніж від центра описаного кола[6]:p.102:

Відрізок  — це діаметр ортоцентроїдального кола[en].

Центр кола дев'яти точок лежить уздовж прямої Ейлера посередині між ортоцентром і центром описаного кола[1]:

Таким чином, пряма Ейлера може бути представлена на числовій прямій з центром описаного кола розташованим у 0, центроїдом в 2, центром кола дев'яти точок у 3 і ортоцентрі[en] в 6, для деякого коефіцієнту масштабу . Крім того, квадрат відстані між центроїдом та центром описаного кола на прямій Ейлера менше, ніж R2 описаного кола на величину, яка дорівнює 1/9 сумі квадратів сторін трикутника , та [6]:p.71:

Також виконуються[6]:p.102,

Remove ads

Представлення

Узагальнити
Перспектива

Нехай A, B, C позначають кути вершин трикутника, x : y : z — задають координати точки у трилінійних координатах; тоді рівнянням прямої Ейлера буде

Рівняння для прямої Ейлера в барицентричних координатах [8]:

Параметричне представлення

Інший спосіб представити пряму Ейлера — залежною від параметра t. Скористаємось трилінійними координатами двох точок — центром описаного кола (з трилінійними координатами ) та ортоцентром (з трилінійними координатами . Тоді кожна точка на прямій Ейлера, крім ортоцентра, задається трилінійними координатами

як лінійна комбінація трилінійними координат цих двох точок, для деякого t.

Наприклад:

  • Центр описаного кола має трилінійні координати , що відповідає значенню параметра
  • Центроїд має трилінійні координати , що відповідає значенню параметра
  • Центр кола дев'яти точок має трилінійні координати , що відповідає значенню параметра
  • Точка Лонгшампа[en] має трилінійні координати , що відповідає значенню параметра

Нахил

У декартовій системі координат позначають нахили сторін трикутника як та і позначають нахил його прямої Ейлера як . Тоді вони пов'язані рівнянням[9]:Lemma 1

Таким чином, нахил прямої Ейлера (якщо він скінченний) виражається в термінах нахилів сторін як

Більше того, пряма Ейлера паралельна стороні гострого трикутника BC тоді і лише тоді, коли[9]:p.173

Remove ads

Зв'язок з вписаними рівносторонніми трикутниками

Геометричне місце точок центроїдів рівносторонніх трикутників, вписаних у даний трикутник, утворена двома прямими, перпендикулярними прямій Ейлера даного трикутника[10]:Coro. 4.

У спеціальних трикутниках

Прямокутний трикутник

У прямокутному трикутнику пряма Ейлера збігається з медіаною проведеною до гіпотенузи, тобто вона проходить через вершину прямого кута і через середину сторони, протилежну цій вершині. Це тому, що ортоцентр прямокутного трикутника, перетин його висот потрапляє у вершину прямого кута, тоді як його центр описаного кола, перетин серединних перпендикулярів до сторін, потрапляє на середину гіпотенузи.

Рівнобедрений трикутник

Пряма Ейлера в рівнобедреному трикутнику збігається з віссю симетрії. У рівнобедреному трикутнику центр вписаного кола потрапляє на лінію Ейлера.

Remove ads

Примітки

Посилання

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads