Точка Аполлонія

Не плутати з точками Аполлонія.

У геометрії трикутника точка Аполлонія — це особлива точка, пов'язана з плоским трикутником. Ця точка є одним із центрів трикутника, і в Енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга її позначено як X(181). Центр Аполлонія також пов'язаний з задачею Аполлонія.

У літературі термін «точки Аполлонія» також використовувався для позначення ізодинамічних точок трикутника.^[1] Це пояснюється тим, що ізодинамічні точки пов'язані з трьома аполоніївськими колами, пов'язаними з трикутником.

Розв'язок задачі Аполлонія відомий потягом століть, проте точку Аполлонія вперше позначено 1987 року.^[2][3]

Визначення

Точка Аполлонія трикутника визначається так.

Нехай ${\displaystyle ABC}$ — даний трикутник. Нехай ${\displaystyle E_{A}}$, ${\displaystyle E_{B}}$, ${\displaystyle E_{C}}$ — зовнівписані кола трикутника ${\displaystyle ABC}$, протилежні до вершин ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ відповідно. Нехай ${\displaystyle E}$ — коло, яке дотикається до трьох кіл ${\displaystyle E_{A}}$, ${\displaystyle E_{B}}$, ${\displaystyle E_{C}}$ так, що вони лежать в ${\displaystyle E}$. Нехай ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$, ${\displaystyle C'}$ — точки дотику кола ${\displaystyle E}$ з трьома колами. Відрізки ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$, ${\displaystyle CC'}$ перетинаються в одній точці. Точка перетину — точка Аполлонія трикутника ${\displaystyle ABC}$.

Задача Аполлонія — це задача побудови кола, дотичного до трьох даних кіл у площині. Загалом існує вісім кіл, що дотикаються до трьох даних кіл. Коло ${\displaystyle E}$, згадане у визначенні, є одним із цих восьми кіл, що дотикаються до трьох зовнівписаних кіл трикутника ${\displaystyle ABC}$. В Енциклопедії центрів трикутників коло ${\displaystyle E}$ називається колом Аполлонія трикутника ${\displaystyle ABC}$.

Трилінійні координати

Трилінійними координатами точки Аполлонія є^[2]

${\displaystyle {\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}}$

${\displaystyle =\sin ^{2}A\cos ^{2}({\frac {B}{2}}-{\frac {C}{2}}):\sin ^{2}B\cos ^{2}({\frac {C}{2}}-{\frac {A}{2}}):\sin ^{2}C\cos ^{2}({\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}).}$

Див. також

• Точки Аполлонія
• Теорема Аполлонія
• Задача Аполлонія
• Кола Аполлонія
• Ізодинамічна точка трикутника
• Аполлоній Перзький (262—190 рр. до н. е.), геометр і астроном