Точки Торрічеллі

Точки Торрічеллі — дві точки, з яких усі сторони трикутника видно або під кутом 60°, або під кутом 120°. Ці точки в трикутнику — «парні». Іноді ці точки називають точками Ферма або точками Ферма-Торрічеллі.

• Дві точки Торрічеллі — це точки перетину відрізків, що з'єднують вершини трикутника:
  • з відповідними вільними вершинами рівносторонніх трикутників, побудованих на протилежних сторонах трикутника (назовні) — перша точка Торрічеллі;
  • з відповідними вільними вершинами правильних трикутників, побудованих на протилежних сторонах всередину трикутника — друга точка Торрічеллі.

Побудова точки Торрічеллі для трикутників з кутами, що не перевершують 120°.

Властивості

• Перша точка Торрічеллі — точка трикутника, з якої всі сторони видно під кутом 120° (за визначенням).
• Перша точка Торрічеллі має найменшу суму відстаней до вершин трикутника. Вона існує тільки в трикутниках з кутами, меншими 120°; при цьому вона єдина і, отже, є окремим випадком точки Ферма, яка існує в будь-якому трикутнику.
• Дві точки Торрічеллі і точка Лемуана лежать на одній прямій.
• Точки Торрічеллі ізогонально спряжені точкам Аполлонія.
• Побудуємо дві прямі, кожна з яких проходить через точку Аполлонія та точку Торрічеллі, відмінну від ізогонально спряженої їй. Такі прямі перетнуться в точці перетину медіан (у центроїді трикутника).
• Теорема Лестер^[1]. У будь-якому різнобічному трикутнику дві точки Торрічеллі, центр дев'яти точок і центр описаного кола лежать на одному колі.

Гіпербола Кіперта

• Гіпербола Кіперта — описана гіпербола, що проходить через центроїд трикутника і ортоцентр. Якщо на сторонах трикутника побудувати подібні рівнобедрені трикутники (назовні або всередину), а потім з'єднати їхні вершини з протилежними вершинами початкового трикутника, то три таких прямих перетнуться в одній точці, що лежить на гіперболі Кіперта. Зокрема, на цій гіперболі лежать точки Торрічеллі і точки Наполеона (точки перетину чевіан, що з'єднують вершини з центрами побудованих на протилежних сторонах правильних трикутників)^[2].

Зауваження

На першому малюнку справа центри трьох рівносторонніх трикутників самі є вершинами нового рівностороннього трикутника (теорема Наполеона). Крім того, ${\displaystyle AA'=BB'=CC'}$.

Див. також

• Відрізки та кола, пов'язані з трикутником
• Чудові точки трикутника
• Правильний трикутник
• Геометрія трикутника
• Коло
• Коло Лестер
• Теорема ван Обеля про трикутник
• Точка Ферма
• Точки Аполлонія