Точки Наполеона

То́чки Наполео́на в геометрії — пара особливих точок на площині трикутника. Легенда приписує виявлення цих точок французькому імператору Наполеону I, однак його авторство сумнівне^[1]. Точки Наполеона належать до чудових точок трикутника і перераховані в Енциклопедії центрів трикутника як точки X(17) і X(18).

Назву «точки Наполеона» застосовують також до різних пар центрів трикутника, більш відомих як ізодинамічні точки^[2].

Визначення точок

Перша точка Наполеона

Перша точка Наполеона

Нехай ABC — будь-який трикутник на площині. На сторонах BC, CA, AB трикутника будуємо зовнішні правильні трикутники DBC, ECA і FAB відповідно. Нехай центроїди цих трикутників — X, Y і Z відповідно. Тоді прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці, і ця точка N1 є першою (або зовнішньою) точкою Наполеона трикутника ABC.

Трикутник XYZ називають зовнішнім трикутником Наполеона трикутника ABC. Теорема Наполеона стверджує, що цей трикутник є правильним.

В Енциклопедії центрів трикутника першу точку Наполеона позначено як X(17).^[3]

• Трилінійні координати точки N1:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(B-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)\end{aligned}}}$

• Барицентричні координати точки N1:

${\displaystyle \left(a\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right),c\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)}$

Друга точка Наполеона

Друга точка Наполеона

Нехай ABC — будь-який трикутник на площині. На сторонах BC, CA, AB трикутника будуємо внутрішні рівносторонні трикутники DBC, ECA і FAB відповідно. Нехай X, Y і Z — центроїди цих трикутників відповідно. Тоді прямі AX, BY а CZ перетинаються в одній точці, і ця точка N2 є другою (або внутрішньою) точкою Наполеона трикутника ABC.

Трикутник XYZ називають внутрішнім трикутником Наполеона трикутника ABC. Теорема Наполеона стверджує, що цей трикутник — правильний.

В енциклопедії центрів трикутника другу точку Наполеона позначено як X(18).^[3]

• Трилінійні координати точки N2:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right)\right)\end{aligned}}}$

• Барицентричні координати точки N2:

${\displaystyle \left(a\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right),c\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)}$

Дві точки, тісно пов'язані з точками Наполеона — це точки Ферма (X13 і X14 в енциклопедії точок). Якщо замість прямих, що з'єднують центроїди рівносторонніх трикутників з відповідними вершинами, провести прямі, що з'єднують вершини рівносторонніх трикутників з відповідними вершинами початкового трикутника, так побудовані три прямі будуть перетинатися в одній точці. Точки перетину називають точками Ферма і позначають як F1 і F2. Перетин прямої Ферма (тобто прямої, що з'єднує дві точки Ферма) і прямої Наполеона (тобто прямої, що з'єднує дві точки Наполеона) є симедіаною трикутника (точка X6 в енциклопедії центрів).

Властивості

• 

  Гіпербола Кіперта

Гіпербола Кіперта — описана гіпербола, що проходить через центроїд і ортоцентр. Якщо на сторонах трикутника побудувати подібні рівнобедрені трикутники (назовні або всередину), а потім з'єднати їх вершини з протилежними вершинами початкового трикутника, то три таких прямі перетнуться в одній точці, що лежать на гіперболі Кіперта. Зокрема, на цій гіперболі лежать точки Торрічеллі і точки Наполеона (точки перетину чевіан, що з'єднують вершини з центрами побудованих на протилежних сторонах правильних трикутників).

Узагальнення

Результат про існування точок Наполеона можна узагальнювати різним чином. Для визначення точок Наполеона ми використовували рівносторонні трикутники, побудовані на сторонах трикутника ABC, а потім вибирали центри X, Y і Z цих трикутників. Ці центри можна розглядати як вершини рівнобедрених трикутників, побудованих на сторонах трикутника ABC з кутом при основі π/6 (30°). Узагальнення розглядають інші трикутники, які будуються на сторонах трикутника ABC і мають аналогічні властивості, тобто прямі, що з'єднують вершини побудованих трикутників з відповідними вершинами початкового трикутника, перетинаються в одній точці.

Рівнобедрені трикутники

Точка на гіперболі Кіперта.

Гіпербола Кіперта трикутника ABC. Гіпербола проходить через вершини (A, B,C), ортоцентр (O) і центроїд (G) трикутника.

Це узагальнення стверджує:^[4]

Якщо три трикутники XBC, YCA і ZAB, побудовані на сторонах трикутника ABC, є подібними, рівнобедреними з основами на сторонах початкового трикутника, і однаково розташованими (тобто всі побудовані з зовнішнього боку, або всі побудовані з внутрішнього боку), то прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці N.

Якщо спільний кут при основі дорівнює ${\displaystyle \theta }$, то вершини трьох трикутників мають такі трилінійні координати.

• ${\displaystyle X(-\sin \theta ,\sin(C+\theta ),\sin(B+\theta ))}$
• ${\displaystyle Y(\sin(C+\theta ),-\sin \theta ,\sin(A+\theta ))}$
• ${\displaystyle Z(\sin(B+\theta ),\sin(A+\theta ),-\sin \theta )}$

Трилінійні координати точки N

${\displaystyle (\csc(A+\theta ),\csc(B+\theta ),\csc(C+\theta ))}$

Кілька окремих випадків.

Значення ${\displaystyle \theta }$	Точка ${\displaystyle N}$
0	G, центроїд трикутника ABC (X2)
π/2 (або, —π/2)	O, ортоцентр трикутника ABC (X4)
${\displaystyle \mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]}$	Центр Шпікера (X10)
π/4	Зовнішня точка Вектена (X485)
—π/4	Внутрішня точка Вектена (X486)
π/6	N1, перша точка Наполеона (X17)
—π/6	N2, друга точка Наполеона (X18)
π/3	F1, перша точка Ферма (X13)
—π/3	F2, друга точка Ферма (X14)
—A (якщо A < π/2) π—A (якщо A > π/2)	Вершина A
—B (якщо B < π/2) π—B (якщо B > π/2)	Вершина B
—C (якщо C < π/2) π—C (якщо C > π/2)	Вершина C

Більше того, геометричне місце точок N при зміні кута при основі трикутників ${\displaystyle \theta }$ між —π/2 і π/2 є гіперболою

${\displaystyle {\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0,}$

де ${\displaystyle x,y,z}$ — трилінійні координати точки N в трикутнику.

Історія

Цю гіперболу називають гіперболою Кіперта (на честь німецького математика Людвіга Кіперта^[de], який відкрив її^[4]). Ця гіпербола — єдиний конічний перетин, що проходить через точки A, B, C, G і O.

Зауваження

Дуже схожу властивість має центр Шпікера. Центр Шпікера S є точкою перетинів прямих AX, BY і CZ, де трикутники XBC, YCA і ZAB подібні, рівнобедрені і однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника ABC зовні, що мають один і той самий кут біля основи ${\displaystyle \mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]}$.

Подібні трикутники

Узагальнення точки Наполеона — окремий випадок

Щоб три прямі AX, BY і CZ перетиналися в одній точці, трикутники XBC, YCA і ZAB, побудовані на сторонах трикутника ABC, не обов'язково мають бути рівнобедреними^[5].

Якщо подібні трикутники XBC, AYC і ABZ побудовано з зовнішніх боків на сторонах довільного трикутника ABC, то прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці.

Довільні трикутники

Прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці навіть за слабших умов. Так умова є однією з найзагальніших умов, щоб прямі AX, BY і CZ перетиналися в одній точці^[5]:

Якщо трикутники XBC, YCA і ZAB побудовано з зовнішнього боку на сторонах трикутника ABC так, що

∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY,

то прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці.

Узагальнення точки Наполеона

Про відкриття точок Наполеона

Коксетер і Грейтцер формулюють теорему Наполеона так: якщо рівносторонні трикутники побудовано з зовнішнього боку на сторонах будь-якого трикутника, то їхні центри утворюють рівносторонній трикутник. Вони зазначають, що Наполеон Бонапарт був трохи математиком і мав великий інтерес до геометрії, однак вони сумніваються, що він був достатньо геометрично освіченим, щоб відкрити теорему, приписувану йому^[1].

Найраніша збережена публікація з точками — стаття в щорічному журналі «The Ladies' Diary» (Жіночий щоденник, 1704—1841) у номері за 1825 рік. Теорема входила у відповідь на питання, надіслане У. Резенфордом, проте в цій публікації про Наполеона не згадано.

1981 року німецький історик математики Крістоф Скриба^[en] опублікував у журналі Historia Mathematica результати дослідження питання приписування точок Наполеону ^[6].

Див. також

• Теорема ван Обеля
• Точка Ферма
• Точки Вектена — пара центрів трикутника, побудованих аналогічно точкам Наполеона з використанням квадратів замість рівносторонніх трикутників.