Тригонометричне рівняння

Тригонометричне рівняння — рівняння, в якому змінна, яку потрібно визначити, з'являється в аргументі тригонометричних функцій. Під час розв'язування цих рівнянь корисними є співвідношення між тригонометричними функціями, особливо теореми додавання^[1].

Кількість розв'язків

Завдяки періодичності тригонометричних функцій тригонометричні рівняння зазвичай мають нескінченну кількість розв'язків. Обмежуючи універсум «базовим інтервалом» (наприклад [0,2π] або [0,π]), можна зменшити кількість розв'язків до скінченного числа або описувати розв'язки членом періодичності (наприклад, 2πk або πk).

Приклад

Тригонометричне рівняння

${\displaystyle \sin \;x=\cos \;x}$

можна розв'язати за допомогою співвідношення ${\displaystyle \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}\;x}}}$. Перетворимо: Піднесемо до квадрата:

${\displaystyle \sin ^{2}\;x=1-\sin ^{2}\;x}$

і отримаємо

${\displaystyle 2\cdot \sin ^{2}\;x=1,}$

тобто

${\displaystyle \sin \;x=\pm \;{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$

з розв'язками

${\displaystyle x=45^{\circ }\pm k\cdot 90^{\circ }\quad (k=0,1,2,...)}$

або в радіанах

${\displaystyle x={\frac {\pi }{4}}\pm k\cdot {\frac {\pi }{2}}\qquad (k=0,1,2,...).}$

Оскільки піднесення до квадрата не є еквівалентним перетворенням^[de], ці розв'язки слід перевірити на початковому рівнянні. Це дає дійсні розв'язки рівняння

${\displaystyle x={\frac {\pi }{4}}\pm 2k\cdot {\frac {\pi }{2}}\qquad (k=0,1,2,...).}$

Див. також

• Список тригонометричних тотожностей