Трисектриса Маклорена

Трисектри́са Маклоре́на — кубика, яку можна використати для трисекції кута. Її можна визначити як геометричне місце точок перетину двох прямих, кожна з яких обертається рівномірно навколо двох різних точок (полюсів) з відношенням кутових швидкостей 1:3, при цьому спочатку прямі збігаються з прямою, що проходить через ці полюси. Узагальнення цієї побудови називають січною Маклорена^[en]. Січну названо на честь Коліна Маклорена, який досліджував криву 1742 року.

Трисектриса Маклорена. Показано трисекцію кута

Рівняння

Нехай дві прямі обертаються навколо точок ${\displaystyle P=(0,0)}$ і ${\displaystyle P_{1}=(a,0)}$, так що пряма, що обертається навколо ${\displaystyle P}$, утворює з віссю ${\displaystyle x}$ кут ${\displaystyle \theta }$, а та, що обертається навколо ${\displaystyle P_{1}}$, утворює кут ${\displaystyle 3\theta }$. Нехай ${\displaystyle Q}$ — точка їх перетину, тоді кут між прямими в точці ${\displaystyle Q}$ дорівнює ${\displaystyle 2\theta }$. За теоремою синусів

${\displaystyle {r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }}$, так що в полярній системі координат це дасть

${\displaystyle r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )}$.

Таким чином, крива належить до сімейства конхоїд Слюза.

У прямокутній системі координат вигляд рівняння такий:

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$.

Якщо початок координат зсунути в ${\displaystyle (a,0)}$, то виведення, подібне до наведеного, показує, що рівняння в полярних координат перетворюється на

${\displaystyle r={\frac {a}{2\cos {\theta \over 3}}}}$

і крива стає прикладом епіспіралі^[en].

Властивість трисекції

Для заданого кута ${\displaystyle \phi }$ малюємо промінь з ${\displaystyle (a,0)}$ так, щоб кут з віссю ${\displaystyle x}$ становив ${\displaystyle \phi }$. Малюємо промінь з початку координат у точку перетину першого променя з кривою. За побудовою кривої, кут між другим променем і віссю ${\displaystyle x}$ дорівнює ${\displaystyle \phi /3}$.

Чудові точки і властивості

Крива має перетин з віссю x у точці ${\displaystyle 3a \over 2}$ і подвійну нерухому точку в початку координат. Вертикальна пряма ${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$ є асимптотою. Крива перетинає пряму ${\displaystyle x=a}$ в точках ${\displaystyle (a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a})}$, що відповідають трисекції прямого кута. Як основна кубика, вона має рід нуль.

Зв'язок з іншими кривими

Трисектрису Маклорена можна визначити як конічний перетин трьома способами. А саме:

• Вона є інверсією гіперболи відносно одиничного кола

${\displaystyle 2x=a(3x^{2}-y^{2})}$.

• Вона є цисоїдою кола

${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$

і прямої ${\displaystyle x={a \over 2}}$ відносно початку координат.

• Вона є подерою параболи відносно початку координат

${\displaystyle y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a)}$.

До того ж,

• Інверсія відносно точки ${\displaystyle (a,0)}$ є трисектрисою равлика^[en].
• Трисектриса Маклорена пов'язана з декартовим листом афінним перетворенням.

Література

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — 19 жовтня. — С. 36, 95, 104—106. — ISBN 0-486-60288-5.
• Weisstein, Eric W. Трисектриса Маклорена(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Посилання

• Трисектриса Маклорена у списку знаменитих кривих MacTutor
• Трисектриса Маклорена на 2dcurves.com
• Трисектриса Маклорена в Наочному словнику плоских кривих
• Трисектриса Маклорена на сайті Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• Loy, Jim «Trisection of an Angle», Part VI