Конхоїда Слюза

Конхо́їди Слю́за — це сімейство плоских кривих, які вивчав 1662 року Рене-Франсуа Валтер^[ru], барон де Слюз^[1].

Конхоїда Слюза для деяких значень a

Криві задаються в полярних координатах рівнянням

${\displaystyle r=\sec \theta +a\cos \theta }$.

У декартовій системі криві задовольняють рівнянню

${\displaystyle (x-1)(x^{2}+y^{2})=ax^{2}}$

за винятком випадку a = 0, в якому крива має ізольовану точку (0,0), якої немає в полярному поданні кривої.

Криві є раціональними, коловими^[en], кубічними плоскими кривими.

Вирази мають асимптоту x=1 (для a≠0). Точка, найвіддаленіша від асимптоти — (1+a,0). (0,0) є точкою самоперетину^[en] для a<−1.

Для ${\displaystyle a\geq -1}$ ділянка між кривою і асимптотою має площу

${\displaystyle |a|(1+a/4)\pi }$

Задля ${\displaystyle a<-1}$ площа дорівнює

${\displaystyle \left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}-a\left(2+{\frac {a}{2}}\right)\arcsin {\frac {1}{\sqrt {-a}}}.}$

Якщо ${\displaystyle a<-1}$, крива має петлю. Площа петлі дорівнює

${\displaystyle \left(2+{\frac {a}{2}}\right)a\arccos {\frac {1}{\sqrt {-a}}}+\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}.}$

Чотири криві з сімейства мають власні назви:

a = 0, пряма (асимптота для інших кривих сімейства),

a = −1, цисоїда Діокла,

a = −2, права строфоїда,

a = −4, трисектриса Маклорена.