Узагальнений чотирикутник

Узагальнений чотирикутник — це структура інцидентності, головна властивість якої — відсутність трикутників (однак структура містить багато чотирикутників). Узагальнений чотирикутник є за визначенням полярним простором^[en] рангу два. Узагальнені чотирикутники є узагальненими многокутниками з n = 4 і майже 2n-кутниками з n = 2. Вони є також точно частковими геометріями pg(s,t, α) з α = 1.

«Серветка» ${\displaystyle GQ(2,2)}$

Визначення

Узагальнений чотирикутник — це структура інцидентності (P,B, I), де ${\displaystyle \mathrm {I} \subseteq P\times B}$ — відношення інцидентності, що задовольняє певним аксіомам. Елементи P за визначенням є вершинами (точками) узагальненого чотирикутника, елементи B — прямими. Аксіоми такі:

• Існує число s (s ≥ 1), таке, що на будь-якій прямій є рівно s+1 точка. Існує максимум одна точка на двох різних прямих.
• Існує число t (t ≥ 1), таке, що через будь-яку точку проходить рівно t + 1 пряма. Існує максимум одна пряма через дві різні точки.
• Для будь-якої точки p, що не лежить на прямій L, існує єдина пряма M і єдина точка q, такі, що p лежить на M, а q лежить на M і L.

Пара чисел ${\displaystyle (s,t)}$ є параметрами узагальненого чотирикутника. Параметри можуть бути нескінченними. Якщо або число s, або t дорівнює одиниці, узагальнений чотирикутник називається тривіальним. Наприклад, ґратка 3x3 з P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} і B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} є тривіальним узагальненим чотирикутником з s = 2 і t = 1. Узагальнений чотирикутник з параметрами ${\displaystyle (s,t)}$ часто позначають як ${\displaystyle GQ(s,t)}$ (від англ. Generalized Quadrangle).

Найменший нетривіальний узагальнений чотирикутник — ${\displaystyle GQ(2,2)}$, подання якого 1973 року Стен Пейн назвав «серветкою».

Властивості

• ${\displaystyle |P|=(st+1)(s+1)}$
• ${\displaystyle |B|=(st+1)(t+1)}$
• ${\displaystyle (s+t)|st(s+1)(t+1)}$
• ${\displaystyle s\neq 1\Longrightarrow t\leq s^{2}}$
• ${\displaystyle t\neq 1\Longrightarrow s\leq t^{2}}$

Графи

Реберний граф узагальненого чотирикутника ${\displaystyle GQ(2,4)}$

Є два цікавих графи, які можна отримати з узагальненого чотирикутника.

• Граф колінеарності, що містить усі точки узагальненого чотирикутника як вершини, в якому колінеарні точки з'єднані ребром. Цей граф є сильно регулярним графом з параметрами ${\displaystyle ((s+1)(st+1),s(t+1),s-1,t+1)}$, де ${\displaystyle (s,t)}$ — порядок чотирикутника.
• Граф інцидентності, вершинами якого є всі точки і прямі узагальненого чотирикутника і дві вершини суміжні, якщо одна вершина відповідає прямій, а інша — точці на цій прямій. Граф інцидентності узагальненого чотирикутника зв'язний і є двочастковим графом з діаметр чотири і обхват вісім. Таким чином, узагальнений чотирикутник є прикладом клітина. Графи інцидентності конфігурацій в даний час називають графами Леві, однак вихідний граф Леві був графом інцидентності узагальненого чотирикутника ${\displaystyle GQ(2,2)}$.

Двоїстість

Якщо (P,B, I) — узагальнений чотирикутник із параметрами (s,t), тоді (B,P,I⁻¹) також є узагальненим чотирикутником (тут I⁻¹ означає обернене відношення інцидентності). Цей чотирикутник називають двоїстим узагальненим чотирикутником. Його параметрами буде пара (t,s). Навіть при s = t двоїста структура не обов'язково ізоморфна початковій структурі.

Узагальнені чотирикутники з розміром прямих 3

Існує рівно п'ять (допускається виродження) узагальнених чотирикутників, у яких кожна пряма має три інцидентні їй точки:

1. чотирикутник з порожньою множиною прямих
2. чотирикутник, у якому всі прямі проходять через фіксовану точку, що відповідає вітряку Wd(3,n)
3. ґратка розміром 3x3
4. чотирикутник ${\displaystyle W(2)}$
5. узагальнений чотирикутник ${\displaystyle GQ(2,4)}$

Ці п'ять чотирикутників відповідають п'яти системам коренів у ADE класах A_n, D_n, E₆, E₇ і E₈, тобто однонитковим системам коренів (це означає, що в діаграмах Динкіна елементи не мають кратних зв'язків)^[1][2].

Класичні узагальнені чотирикутники

Якщо розглядати різні види полярних просторів^[en] рангу щонайменше три і екстраполювати їх на ранг 2, можна виявити ці (скінченні) узагальнені чотирикутники:

• Гіперболічна поверхня другого порядку (квадрика) ${\displaystyle Q^{+}(3,q)}$, параболічна квадрика ${\displaystyle Q(4,q)}$ і еліптична квадрика ${\displaystyle Q^{-}(5,q)}$ є єдиними можливими квадриками в проєктивних просторах над скінченними полями з проєктивним індексом 1. Параметри цих квадрик:

${\displaystyle Q(3,q):\ s=q,t=1}$ (це просто ґратка)

${\displaystyle Q(4,q):\ s=q,t=q}$

${\displaystyle Q(5,q):\ s=q,t=q^{2}}$

• Ермітів многовид ${\displaystyle H(n,q^{2})}$ має проєктивний індекс 1 тоді і тільки тоді, коли N дорівнює 3 або 4. Ми маємо:

${\displaystyle H(3,q^{2}):\ s=q^{2},t=q}$

${\displaystyle H(4,q^{2}):\ s=q^{2},t=q^{3}}$

• Симплектична полярність в ${\displaystyle PG(2d+1,q)}$ має максимальний ізотропний підпростір розмірності 1 тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle d=1}$. Тут ми маємо узагальнений чотирикутник ${\displaystyle W(3,q)}$, з параметрами ${\displaystyle s=q,t=q}$.

Узагальнений чотирикутник, похідний від ${\displaystyle Q(4,q)}$ завжди ізоморфний двоїстій структурі до ${\displaystyle W(3,q)}$, обидві структури самодвоїсті, а тому ізоморфні одна одній тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle q}$ парне.

Некласичні приклади

• Нехай O — гіперовал^[en] в ${\displaystyle PG(2,q)}$ з q, рівним парному степеню простого числа, і вкладення цієї проєктивної (дезаргової) площині ${\displaystyle \pi }$ в ${\displaystyle PG(3,q)}$. Тепер розглянемо структуру інцидентності ${\displaystyle T_{2}^{*}(O)}$, в якій усі точки є точками, що не лежать на ${\displaystyle \pi }$. Прямі цієї структури — це точки, що не лежать на ${\displaystyle \pi }$ і перетинають ${\displaystyle \pi }$ в точці O, а інцидентність визначається природним чином. Це (q-1,q+1)-узагальнений чотирикутник.
• Нехай q — степінь простого числа (непарний або парний). Розглянемо симплектичну полярність ${\displaystyle \theta }$ в ${\displaystyle PG(3,q)}$. Виберемо випадкову точку p і визначимо ${\displaystyle \pi =p^{\theta }}$. Нехай прямими нашої структури інцидентності будуть усі абсолютні прямі^[3], що не лежать на ${\displaystyle \pi }$, разом з усіма прямими, що проходять через точку p, але не лежать на ${\displaystyle \pi }$, а точками — всі точки ${\displaystyle PG(3,q)}$, що не лежать на ${\displaystyle \pi }$. Відношенням інцидентності буде природна інцидентність. Ми отримали знову (q—1,q+1)-узагальнений чотирикутник.

Обмеження на параметри

Для ґраток і двоїстих ґраток для будь-якого цілого числа z, z ≥ 1 є узагальнені чотирикутники з параметрами (1,z) і (z,1). Крім цього випадку, виявляються допустимими лише такі параметри (тут q — довільний степінь простого числа):

${\displaystyle (q,q)}$

${\displaystyle (q,q^{2})}$ і ${\displaystyle (q^{2},q)}$

${\displaystyle (q^{2},q^{3})}$ і ${\displaystyle (q^{3},q^{2})}$

${\displaystyle (q-1,q+1)}$ і ${\displaystyle (q+1,q-1)}$