Підстановка тангенса півкута

Підстановка тангенса півкута або універсальна тригонометрична підстановка (англ. tangent half-angle substitution) — підстановка використовна для віднайдення первісної та визначеного інтеграла раціональних функцій від тригонометричних функцій.

Підстановка Веєрштраса, тут ілюстрована як стереографічна проєкція кола.

Підстановка

Зв'язок зі стереографічною проєкцією

Почавши з задачі знаходження первісної раціональної функції від синуса і косинуса і замінивши ${\displaystyle \sin x}$, ${\displaystyle \cos x}$ і диференціал ${\displaystyle \operatorname {d} \!t}$ відповідно раціональними функціями від змінної ${\displaystyle t}$ та добутком функції від ${\displaystyle t}$ з диференціалом ${\displaystyle \operatorname {d} \!t}$, отже,^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\\[8pt]\cos x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\[8pt]\mathrm {d} x&={\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}$

Отримання

Нехай

${\displaystyle t=\mathrm {tg} {\frac {x}{2}}.}$

Використовуючи тригонометричні тотожності,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}\\[8pt]&=2t\cos ^{2}{\frac {x}{2}}\\[8pt]&={\frac {2t}{\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}}\\[8pt]&={\frac {2t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=1-2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\\[8pt]&=1-2t^{2}\cos ^{2}{\frac {x}{2}}\\[8pt]&=1-{\frac {2t^{2}}{\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}}\\[8pt]&=1-{\frac {2t^{2}}{1+t^{2}}}\\[8pt]&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}$

Диференціал ${\displaystyle \operatorname {d} \!x}$ можна обчислити так:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}&={\frac {1}{2}}\sec ^{2}{\frac {x}{2}}\\[8pt]&={\frac {1+t^{2}}{2}}\\[8pt]\Rightarrow \mathrm {d} x&={\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}$

Приклади

Формула тангенса півкута пов'язує кут з нахилом лінії

Перший приклад

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {cosec} x\,\mathrm {d} x&=\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sin x}}&\\&=\int {\frac {\mathrm {d} t}{t}}&t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\\&=\ln t+C\\&=\ln \operatorname {tg} {\frac {x}{2}}+C.\end{aligned}}}$

Другий приклад: визначений інтеграл

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} x}{2+\cos x}}&=\int _{x=0}^{x=\pi }{\frac {\mathrm {d} x}{2+\cos x}}+\int _{x=\pi }^{x=2\pi }{\frac {\mathrm {d} x}{2+\cos x}}&&\\&=\int _{t=0}^{t=\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{2+\cos x}}+\int _{t=-\infty }^{t=0}{\frac {\mathrm {d} x}{2+\cos x}}&t&=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\\&=\int _{t=-\infty }^{t=\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{2+\cos x}}&&\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,\mathrm {d} t}{3+t^{2}}}&&\\&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{1+u^{2}}}&t&=u{\sqrt {3}}\\&={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}.&&\end{aligned}}}$

У першому рядку проводять не просто підстановку ${\displaystyle t=0}$ для обох границь інтегрування. Тут необхідно взяти до уваги особливу точку (у цьому випадку, вертикальну асимптоту) ${\displaystyle t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}$ в ${\displaystyle x=\pi }$.

Геометрія

Підстановка тангенса півкута параметризує одиничне коло з центром у ${\displaystyle (0,\ 0)}$. Замість ${\displaystyle +\infty }$ і ${\displaystyle -\infty }$, ми маємо лише ${\displaystyle \infty }$, на обох кінцях дійсної лінії. Це часто допустимо коли працюєш з дійсними та з тригонометричними функціями (це одноточкова компактифікація лінії.

Тоді як x змінюється, точка, ${\displaystyle (\cos x,\ \sin x)}$ раз за разом проходить одиничне коло з центром у ${\displaystyle (0,\ 0)}$. Точка

${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\ {\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

тільки один раз проходить коло у міру того як ${\displaystyle t}$ рухається від ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle +\infty }$, і ніколи не досягає точки ${\displaystyle (-1,\ 0)}$, до якої наближається як до границі коли ${\displaystyle t}$ наближається до ${\displaystyle \pm \infty }$. Коли ${\displaystyle t}$ рухається між ${\displaystyle -\infty }$ і ${\displaystyle -1}$, точка визначена від ${\displaystyle t}$ покриває частину кола в третьому квадранті, від ${\displaystyle (-1,\ 0)}$ до ${\displaystyle (0,\ -1)}$.

Ось інша геометрична точка зору. Намалюємо одиничне коло, і нехай P буде точкою ${\displaystyle (-1,\ 0)}$. Лінія через ${\displaystyle P}$ (окрім вертикальної лінії) визначена її нахилом. Далі більше, кожна така лінія (окрім вертикальної) перетинає коло саме у двох точках, одна з яких ${\displaystyle P}$. Це визначає функцію від точки на колі в нахил. Тригонометричні функції визначають функцію від кута в точку на одиничному колі, тепер, сполучаючи ці дві функції, ми маємо функцію від кута в нахил.