Формула Бретшнайдера

У геометрії формулою Бретшнайдера є наступний вираз для обчислення площі загального чотирикутника :

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}$

Чотирикутник

Тут a , b , c , d - сторони чотирикутника, p - півпериметр , а α і γ - два протилежні кути.

Формулу Бретшнайдера можна застосовувати для обчислення площі будь-якого чотирикутника.

Німецький математик Карл Антон Бретшнайдер відкрив формулу в 1842 році. У тому ж році формулу отримав і німецький математик Карл Георг Крістіан фон Штаудт.

Доведення

Позначимо площу чотирикутника за S. Тоді ми маємо

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\text{площа }}\triangle ADB+{\text{площа }}\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}$

Тому

${\displaystyle 2S=(ad)\sin \alpha +(bc)\sin \gamma .}$

${\displaystyle 4S^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .}$

З теореми косинусів випливає, що

${\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,}$

оскільки обидві сторони дорівнюють квадрату довжини діагоналі BD. Це можна записати як

${\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}$

Додавання цього до вищенаведеної формули для 4S² дає

${\displaystyle {\begin{aligned}4S^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd(\cos(\alpha +\gamma )+1)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}}$

Зауважте, що: ${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {1+\cos(\alpha +\gamma )}{2}}}$ (тригонометрична тотожність правильна для всіх ${\displaystyle {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}$)

Слідуючи тими ж кроками, що й у формулі Брахмагупти, це можна записати так

${\displaystyle 16S^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).}$

Введемо півпериметр

${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}},}$

отримуємо

${\displaystyle 16S^{2}=16(p-d)(p-c)(p-b)(p-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

${\displaystyle S^{2}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

формула Бретшнайдера випливає після взяття квадратного кореня з обох сторін:

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

Пов'язані формули

Формула Бретшнайдера узагальнює формулу Брахмагупти для площі вписаного чотирикутника, яка у свою чергу узагальнює формулу Герона для площі трикутника.

Тригонометричне перетворення у формулі Бретшнайдера для невписаного чотирикутника може бути подано нетригонометрично в термінах сторін та діагоналей e та f ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}.\end{aligned}}}$