Фундаментальна матриця (лінійні диференціальні рівняння)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Фундаментальна матриця.

Фундаментальна матриця системи n однорідних звичайних диференціальних рівнянь

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)}$

це матрична функція ${\displaystyle \Psi (t)}$ чиї стовпчики є лінійно незалежними розв'язками системи.

Тоді загальний розв'язок системи можна записати як ${\displaystyle \mathbf {x} =\Psi (t)\mathbf {c} }$, де ${\displaystyle \mathbf {c} }$ вектор сталих.

Матрична функція ${\displaystyle \Psi }$ є фундаментальною матрицею для ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)}$ тоді і тільки тоді, коли

1. ${\displaystyle {\dot {\Psi }}(t)=A(t)\Psi (t)}$ і
2. ${\displaystyle \Psi }$ несингулярна для всіх ${\displaystyle t}$.^[1]

Нормалізована фундаментальна матриця

Унікальна матриця ${\displaystyle {\tilde {\Psi _{t_{0}}(t)}}}$, що задовольняє умові

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{t_{0}}^{'}=A{\tilde {\Psi }}_{t_{0}},\ \ {\tilde {\Psi }}_{t_{0}}^{'}(t_{0})=\mathrm {I} }$

називається нормалізована фундаментальна матриця в ${\displaystyle t_{0}}$ для ${\displaystyle A.}$

Оскільки змінна ${\displaystyle t}$ зазвичай позначає час, то зручно нормалізувати в точці ${\displaystyle t_{0}=0,}$ що дозволяє швидко знайти розв'язок для задача Коші із заданими в нульовий час умовами. Так якщо ${\displaystyle \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0},}$ то розв'язком буде ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{0}\mathbf {x} _{0}.}$

Обчислити матрицю можна так ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{t_{0}}(t)=\Psi (t)\ \Psi (t_{0})^{-1}.}$