Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Модифіковані функції Бесселя

функції Бесселя від суто уявного аргументу З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Модифіковані функції Бесселя
Remove ads

Модифіковані функції Бесселя функції Бесселя від суто уявного аргументу.

Якщо в диференціальному рівнянні Бесселя

замінити на , воно набуде вигляду

Це рівняння називають модифікованим рівнянням Бесселя.

Якщо не є цілим числом, то функції Бесселя і  — два лінійно незалежні розв'язки рівняння . Однак частіше використовують функції

и

Їх називають модифікованими функціями Бесселя першого роду чи функціями Інфельда. Якщо  — дійсне число, а z невід'ємне, ці функції набувають дійсних значень.

називаєтся порядком функції.

Функція

також є розв'язком рівняння . Її називають модифікованою функцією Бесселя другого роду або функцією Макдональда[en]. Очевидно, що

і набуває дійсних значень, якщо  — дійсне число, а  — додатне.

Thumb
Графік модифікованих функцій Бесселя першого роду з різними порядками
Thumb
Графік модифікованих функцій Бесселя другого роду з різними порядками
Remove ads

Функції цілого порядку

Оскільки , за цілого як фундаментальну систему розв'язків[de] рівняння вибирають і де

Remove ads

Рекурентні співвідношення та формули диференціювання

Модифіковані функції Бесселя першого роду

Модифіковані функції Бесселя другого роду

Вронськіан системи модифікованих функцій Бесселя

Remove ads

Інтегральні подання

Модифіковані функції Бесселя першого роду

 гамма-функция.

Модифіковані функції Бесселя другого роду

Remove ads

Асимптотична поведінка

Узагальнити
Перспектива

Частковий і загальний випадки:

Remove ads

Зауваження

  • Існує класичний ряд Шлемільха[de] за j-функціями Бесселя.

Див. також

Література

  • Ватсон Г. Теория бесселевых функций. — М. : ИЛ[ru], 1949. — Т. Т. 1, 2.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены: Справочная математическая библиотека. — М. : Физматгиз, 1966. — 296 с.

Примітки

Посилання

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads