Хемікомпактний простір

У математиці топологічний простір ${\displaystyle X}$ називається хемікомпактним якщо у ньому є зліченна послідовність компактних підмножин ${\displaystyle K_{n}}$ і для довільної компактної підмножини ${\displaystyle K\subset X}$ також ${\displaystyle K\subset K_{n}}$ для деякого n.^[1] Оскільки кожна одноточкова множина є компактною, то об'єднання елементів ${\displaystyle K_{n}}$ є рівним усьому простору ${\displaystyle X}$ .

Приклади

• Будь-який компактний простір є хемікомпактним.
• Дійсні числа із стандартною топологією утворюють хемікомпактний простір.
• Будь-який локально компактний простір Ліндельофа є хемікомпактним.

Властивості

• Кожний хемікомпактний простір є σ-компактним. Якщо для нього також виконується перша аксіома зліченності то він є локально компактним.
• Для локально компактних просторів такі умови є еквівалентними:

1. ${\displaystyle X}$ є хемікомпактним простором
2. ${\displaystyle X}$ є простором Ліндельофа,
3. ${\displaystyle X}$ є σ-компактним простором,
4. для ${\displaystyle X}$ існує зліченне покриття компактними множинами ${\displaystyle K_{i},}$ що ${\displaystyle K_{i}\subseteq {\mbox{Int}}\,K_{i+1}}$ для всіх ${\displaystyle i}$
5. ${\displaystyle X}$ є компактним простором або точка ${\displaystyle \infty }$ у його одноточковій компактифікації має зліченну базу околів.

• Якщо ${\displaystyle X}$ є хемікомпактним простором, то множина ${\displaystyle C(X,M)}$ усіх відображень ${\displaystyle f:X\to M}$ у метричний простір ${\displaystyle (M,\delta )}$ із компактно-відкритою топологією є метризовним.^[2] Нехай ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots }$ є послідовністю компактних підмножин ${\displaystyle X}$ із означення хемікомпактності. На просторі ${\displaystyle X}$ можна задати псевдометрики:

${\displaystyle d_{n}(f,g)=\sup _{x\in K_{n}}\left|f(x)-g(x)\right|,\quad f,g\in C(X,M),n\in \mathbb {N} .}$

Тоді

${\displaystyle d(f,g)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\frac {d_{n}(f,g)}{1+d_{n}(f,g)}}}$

є метрикою на ${\displaystyle C(X,M),}$ яка породжує компактно-відкриту топологію.

Див. також

• Компактний простір
• Локально компактний простір
• Простір Ліндельофа