Ядро інтегрального оператора

Ядро́м інтегра́льного опера́тора (ядро Фредгольма^[1]) — функція двох аргументів ${\displaystyle K(x,\;y)}$, яка визначає деякий інтегральний оператор ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ рівністю

${\displaystyle \varphi (y)={\mathcal {A}}[\varphi (x)]=\int K(x,\;y)\varphi (x)\,d\mu (x),}$

де ${\displaystyle x\in \mathbb {X} }$ — простір з мірою ${\displaystyle d\mu (x)}$, а ${\displaystyle \varphi (x)}$ належить деякому простору функцій, визначених на ${\displaystyle \mathbb {X} }$ .

Приклади

• Ядро ${\displaystyle K(x,\;y)}$ називають ${\displaystyle L_{2}}$-ядром, якщо воно задовольняє умові:

${\displaystyle \int \limits _{D}\int \limits _{D}|K(x,\;y)|^{2}\,dx\,dy<+\infty ,}$

де ${\displaystyle K(x,\;y)}$ — вимірна на ${\displaystyle D}$ функція.

Такі ядра є основним предметом розгляду теорії інтегральних рівнянь.

• Ядро, що задовольняє умові:

${\displaystyle K(x,\;y)\equiv 0}$ при ${\displaystyle y>x}$

називають ядром Вольтерри.

• Симетричне ядро — ядро, для якого виконується тотожність ${\displaystyle K(x,\;y)=K(y,\;x)}$.
• Якщо виконується тотожність ${\displaystyle K(x,\;y)={\overline {K(y,\;x)}}}$, де ${\displaystyle {\overline {K(y,\;x)}}}$ — комплексно спряжене до ${\displaystyle K(x,\;y)}$, таке ядро називають ермітовим.
• Якщо ядро ${\displaystyle K(x,\;y)}$ допускає розклад вигляду:

${\displaystyle K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),}$

де ${\displaystyle \{X_{i}(x)\},\;\{Y_{i}(y)\}}$${\displaystyle (i=1,\;2,\;\ldots ,\;n)}$ — дві системи лінійно незалежних інтегрованих з квадратом функцій (${\displaystyle L_{2}}$-функцій), таке ядро називають ядром Пінкерле^[ru] — Ґурса або PG-ядром.

Пов'язані визначення

• Спектром ядра називають множину його власних значень.

Теорема Мерсера

Теорема Мерсера^[en] про розкладання ядра стверджує:

Якщо симметричне ${\displaystyle L_{2}}$-ядро ${\displaystyle K(x,\;y)}$ неперервне і має лише додатні власні значення (або принаймні скінченне число від'ємних власних значень) ${\displaystyle \lambda _{k}}$, то справедливе подання: ${\displaystyle K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(y)}{\lambda _{k}}},}$ де ${\displaystyle \{\varphi _{k}(x)\}}$ — ортогональна система ${\displaystyle L_{2}}$-функций. При цьому ряд збігається абсолютно і рівномірно.

Див. також

• Характеристичне число (інтегральні рівняння)

Джерела

• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Ахієзер Н.І., Глазман І.М. Теорія лінійних операторів у гільбертовому просторі. — 2025. — 663 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осциляційні матриці та ядра та малі коливання механічних систем. — 2025. — 400 с.(укр.)