Характеристичне число (інтегральні рівняння)

Характеристичне число ядра інтегрального рівняння — комплексне значення ${\displaystyle \lambda }$, за якого однорідне інтегральне рівняння Фредгольма другого роду

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int _{G}K(x,y)\varphi (y)\,dy}$

має нетривіальний (тобто не рівний тотожно нулю) розв'язок ${\displaystyle \varphi (x)}$, називаний власною функцією. Тут ${\displaystyle G}$ — ділянка в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle K(x,y)}$ — ядро інтегрального рівняння. Характеристичні числа — це величини, обернені власним значенням інтегрального оператора з ядром ${\displaystyle K(x,y)}$^[1]. Значення ${\displaystyle \lambda }$, які не є характеристичними числами, називають регулярними. Якщо ${\displaystyle \lambda }$ — регулярне значення, інтегральне рівняння Фредгольма другого роду

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int _{G}K(x,y)\varphi (y)\,dy+f(x)}$

має єдиний розв'язок за будь-якого вільного члена ${\displaystyle f(x)}$; характеристичні числа — це «особливі точки», в яких розв'язок не існує або існує безліч розв'язків, залежно від вільного члена ${\displaystyle f(x)}$^[2].

Властивості

Характеристичні числа неперервного ядра мають такі властивості:

• Множина характеристичних чисел зліченна і не має скінченних граничних точок.
• Кратністю характеристичного числа називають кількість відповідних йому лінійно незалежних власних функцій. Кратність кожного характеристичного числа є скінченною.
• З перших двох властивостей випливає, що характеристичні числа можна пронумерувати в порядку зростання їх модуля:

${\displaystyle |\lambda _{1}|\leq |\lambda _{2}|\leq \dots ,}$

повторюючи при цьому число ${\displaystyle \lambda _{k}}$ стільки разів, яка його кратність.

• ${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{1},\,{\bar {\lambda }}_{2},\dots }$ — всі характеристичні числа союзного ядра ${\displaystyle K^{*}(x,y)={\overline {K(y,x)}}}$.
• Якщо ${\displaystyle \lambda _{k}\neq \lambda _{i}}$ і ${\displaystyle \varphi _{k}=\lambda _{k}K\varphi _{k}}$, ${\displaystyle \psi _{i}={\bar {\lambda }}_{i}K^{*}\psi _{i}}$, тобто ${\displaystyle \varphi _{k}}$ і ${\displaystyle \psi _{i}}$ — власні функції ядер ${\displaystyle K(x,y)}$ і ${\displaystyle K^{*}(x,y)}$ відповідно, то ${\displaystyle (\varphi _{k},\psi _{i})=0}$ — власні функції ортогональні в просторі ${\displaystyle L_{2}(G)}$.
• Повторне ядро ${\displaystyle K_{p}(x,y)}$ має характеристичні числа ${\displaystyle \lambda _{k}^{p}}$ і ті самі власні функції ${\displaystyle \varphi _{k}}$, що й ядро ${\displaystyle K(x,y)}$.
• Навпаки, якщо ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \varphi }$ — характеристичне число та відповідна власна функція повторного ядра ${\displaystyle K_{p}(x,y)}$, то принаймні один із коренів ${\displaystyle \lambda _{j},\,j=1,2,\dots ,p,}$ рівняння ${\displaystyle \lambda ^{p}=\mu }$ є характеристичне число ядра ${\displaystyle K(x,y)}$^[3].
• Множина характеристичних чисел ермітового неперервного ядра не порожня і розташована на дійсній осі, систему власних функцій можна обрати ортонормованою^[4].
• Характеристичні числа збігаються з полюсами резольвенти^[2].
• Вироджене ядро має скінченне число характеристичних чисел^[5].
• Неперервне ядро Вольтерри не має характеристичних чисел^[6].

Див. також

• Інтегральне рівняння Фредгольма
• Інтегральний оператор Фредгольма
• Ядро інтегрального оператора
• Резольвента інтегрального рівняння
• Альтернатива Фредгольма
• Власні вектори та власні значення