B-сплайн

B-сплайн— сплайн-функція, що має мінімальний носій для заданого степеня, гладкості та області визначення.

B-сплайн
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
B-сплайн у Вікісховищі

Фундаментальна теорема стверджує, що довільна сплайн-функція заданого степеня, гладкості і області визначення може бути представлена як лінійна комбінація B-сплайнів того ж степеня і гладкості на тій же області визначення.

Термін B-сплайн запровадив Ісак Яков Шонберг у 1978 році і є скороченням від словосполучення «базисний сплайн». B-сплайни є узагальненням кривих Без'є, вони допомагають уникнути феномену Рунге при високих степенях полінома.

Визначення

B-сплайн степеня n з заданими вузлами:

${\displaystyle t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{m}}$

та (m−n) контрольними точками

${\displaystyle \mathbf {P} _{0}\ldots \mathbf {P} _{m-n-1}}$

це параметрична крива, що складена з базисних B-сплайнів степеня n

${\displaystyle \mathbf {S} (t)=\sum _{i=0}^{m-n-1}\mathbf {P} _{i}b_{i,n}(t),\qquad t\in [t_{n},t_{m-n}].}$

Базисні B-сплайни визначаються рекурсивними формулами:

${\displaystyle b_{j,0}(t):=1_{[t_{j},t_{j+1})}={\begin{cases}1,&\quad t\in [t_{j},t_{j+1})\\0,&\quad t\notin [t_{j},t_{j+1})\end{cases}}.}$

${\displaystyle b_{j,n}(t):={\frac {t-t_{j}}{t_{j+n}-t_{j}}}b_{j,n-1}(t)+{\frac {t_{j+n+1}-t}{t_{j+n+1}-t_{j+1}}}b_{j+1,n-1}(t)\;\quad >0}$ при ${\displaystyle t\in [t_{j},\;t_{j+n+1}).}$

При однаковій відстані між сусідніми вузлами B-сплайни називаються однорідними, в протилежному випадку — неоднорідними.

Однорідні B-сплайни

Для однорідних B-сплайнів, базисні B-сплайни однакового степеня є зміщеними екземплярами однієї функції. Нерекурсивним визначенням базисних B-сплайнів є

${\displaystyle b_{j,n}(t)=b_{n}(t-t_{j}),\qquad \;j={\overline {0,m-n-1}},}$

де

${\displaystyle b_{n}(t):={\frac {n+1}{n}}\sum _{i=0}^{n+1}\omega _{i,n}(t-t_{i})_{+}^{n},\qquad \omega _{i,n}:=\prod _{j=0,j\neq i}^{n+1}{\frac {1}{t_{j}-t_{i}}}.}$

Кардинальні B-сплайни

Визначимо B₀ як індикаторну функцію відрізку ${\displaystyle [-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}]}$ і B_k рекурсивно через згортку

${\displaystyle B_{k}(t):=B_{0}(t)*B_{k-1}(t)=\int _{\mathbb {R} }B_{0}(t-\tau )B_{k-1}(\tau )\,d\tau =\int _{t-{\tfrac {1}{2}}}^{t+{\tfrac {1}{2}}}B_{k-1}(\tau )\,d\tau ,\quad k\in \mathbb {N} }$

B_k має носій ${\displaystyle [-{\tfrac {k+1}{2}},{\tfrac {k+1}{2}}].}$

Приклади

Константні B-сплайни

Це найпростіші сплайни. Вони не є навіть неперервними.

${\displaystyle b_{j,0}(t)=1_{[t_{j},t_{j+1})}\qquad B_{0}(t)=1_{[-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}.}$

Лінійні B-сплайни

Лінійні B-сплайни є неперервними, але не диференційовними.

${\displaystyle b_{j,1}(t)={\begin{cases}{\frac {t-t_{j}}{t_{j+1}-t_{j}}},&\quad t\in [t_{j},\;t_{j+1})\\{\frac {t_{j+2}-t}{t_{j+2}-t_{j+1}}},&\quad t\in [t_{j+1},\;t_{j+2})\end{cases}}\qquad B_{1}(t)={\begin{cases}t+1,&t\in [-1,\;0)\\1-t,&t\in [0,\;+1)\end{cases}}}$

Однорідні квадратичні B-сплайни

Є найбільш вживаною формою B-сплайнів.

${\displaystyle b_{2}(t)=b_{j,2}(t)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(t-t_{j})^{2},&t\in [t_{j},\;t_{j+1})\\-(t-t_{j+1})^{2}+(t-t_{j+1})+{\frac {1}{2}},&t\in [t_{j+1},\;t_{j+2})\\{\frac {1}{2}}(1-(t-t_{j+2}))^{2},&t\in [t_{j+2},\;t_{j+3})\end{cases}}\qquad B_{2}(t)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(t+{\frac {3}{2}})^{2},&t\in [-{\frac {3}{2}},\;-{\frac {1}{2}})\\{\frac {3}{4}}-t^{2},&t\in [-{\frac {1}{2}},\;+{\frac {1}{2}})\\{\frac {1}{2}}(t-{\frac {3}{2}})^{2},&t\in [{\frac {1}{2}},\;{\frac {3}{2}})\end{cases}}}$

В матричній формі:

${\displaystyle \mathbf {S} _{i}(t)={\begin{bmatrix}t^{2}&t&1\end{bmatrix}}{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&-2&1\\-2&2&0\\1&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{i-1}\\\mathbf {p} _{i}\\\mathbf {p} _{i+1}\end{bmatrix}},\qquad t\in [0,1],\quad i={\overline {1,m-1}}}$

Однорідні кубічні B-сплайни

${\displaystyle b_{3}(t)=b_{j,3}(t)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}(t-t_{j})^{3},&t\in [t_{j},\;t_{j+1})\\{\frac {1}{6}}\left(-3(t-t_{j+1})^{3}+3(t-t_{j+1})^{2}+3(t-t_{j+1})+1\right),&t\in [t_{j+1},\;t_{j+2})\\...,&t\in [t_{j+2},\;t_{j+3})\\{\frac {1}{6}}(1-(t-t_{j+3}))^{3},&t\in [t_{j+3},\;t_{j+4})\end{cases}}}$

${\displaystyle B_{3}(t)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}(t+2)^{3},&t\in [-2,\;-1)\\{\frac {1}{6}}(-3t^{3}-6t^{2}+4),&t\in [-1,\;0)\\{\frac {1}{6}}(3t^{3}-6t^{2}+4),&t\in [0,\;1)\\{\frac {1}{6}}(-t+2)^{3},&t\in [1,\;2)\end{cases}}}$

В матричній формі:

${\displaystyle \mathbf {S} _{i}(t)={\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}{\frac {1}{6}}{\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&0&3&0\\1&4&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{i-1}\\\mathbf {p} _{i}\\\mathbf {p} _{i+1}\\\mathbf {p} _{i+2}\end{bmatrix}},\quad t\in [0,1].}$

Див. також

• Портал «Математика»

• Інтерполяція

Джерела

• Hovey, Chad (2022). Formulation and Python Implementation of Bézier and B-Spline Geometry. SAND2022-7702C. (153 pages)
• Carl de Boor (1978). A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-90356-7.
• Piegl, Les; Tiller, Wayne (1997). The NURBS Book (вид. 2nd.). Springer. ISBN 978-3-540-61545-3.
• Hartmut Prautzsch; Wolfgang Boehm; Marco Paluszny (2002). Bézier and B-Spline Techniques. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-43761-1.

Посилання

• Weisstein, Eric W. B-сплайн(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Ruf, Johannes. B-splines of third order on a non-uniform grid (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 6 листопада 2013. Процитовано 2 травня 2012.