Розподіл Фішера

Розподіл Фішера або F-розподіл у теорії імовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. F-розподіл часто зустрічається як розподіл тестової статистики коли нульова гіпотеза вірна, особливо в тесті відношення правдоподібності, найважливіший випадок аналіз дисперсії (див. F-тест).

Розподіл Фішера
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}$ ступені свободи
Носій функції	${\displaystyle x\in [0,+\infty )\!}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!}$
Середнє	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ для ${\displaystyle d_{2}>2}$
Мода	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}\!}$ для ${\displaystyle d_{1}>2}$
Дисперсія	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}$ для ${\displaystyle d_{2}>4}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}$ для ${\displaystyle d_{2}>6}$
Коефіцієнт ексцесу	див. текст
Твірна функція моментів (mgf)	не існує, raw moments defined elsewhere[1][2][3][4]
Характеристична функція	див. текст

Визначення

Нехай ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$ — дві незалежні випадкові величини, що мають розподіл хі-квадрат: ${\displaystyle Y_{i}\sim \chi ^{2}(d_{i})}$, де ${\displaystyle d_{i}\in \mathbb {N} ,\;i=1,2}$. Тоді розподіл випадкової величини

${\displaystyle F={\frac {Y_{1}/d_{1}}{Y_{2}/d_{2}}}}$,

називається розподілом Фішера зі ступенями свободи ${\displaystyle d_{1}}$ і ${\displaystyle d_{2}}$. Пишуть ${\displaystyle F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$.

Щільність випадкової величини з F-розподілом з параметрами ${\displaystyle d_{1},d_{2}\ (F(d_{1},d_{2}))}$ задається формулою:

${\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\!}$

для дійсного числа ${\displaystyle x\geq 0}$, тут d₁ та d₂ цілі додатні числа, а B — Бета-функція.

Моменти

Математичне очікування і дисперсія випадкової величини, що має розподіл Фішера, мають вигляд:

${\displaystyle \mathbb {M} [F]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}}$, якщо ${\displaystyle d_{2}>2}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [F]={\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}$, якщо ${\displaystyle d_{2}>4}$.

Властивості розподілу Фішера

• Якщо ${\displaystyle F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$, то

${\displaystyle {\frac {1}{F}}\sim \mathrm {F} (d_{2},d_{1})}$.

• Розподіл Фішера збігається до одиниці: якщо ${\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$, то

${\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\to \delta (x-1)}$ по розподілі при ${\displaystyle d_{1},d_{2}\to \infty }$,

де ${\displaystyle \delta (x-1)}$ — дельта-функція в одиниці, тобто розподіл випадкової величини-константи ${\displaystyle X\equiv 1}$.

Зв'язок з іншими розподілами

• Якщо ${\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$, то випадкові величини ${\displaystyle d_{1}F_{d_{1},d_{2}}}$ збігаються по розподілу до ${\displaystyle \chi ^{2}(d_{1})}$ при ${\displaystyle d_{2}\to \infty }$.

Див. також

• Розподіл хі-квадрат