L-функція Діріхле

L-функція Діріхле ${\displaystyle L_{\chi }(s)}$ — комплекснозначна функція, задана для ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s>0}$ (для ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s>1}$ у випадку головного характера) формулою

${\displaystyle L_{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$,

де ${\displaystyle \chi (n)}$ — деякий характер Діріхле (по модулю k). ${\displaystyle L}$-функції Діріхле були введені для доведення теореми Діріхле про прості числа в арифметичних прогресіях, де, зокрема використовується нерівність ${\displaystyle L_{\chi }(1)\neq 0}$ для усіх неголовних характерів.

Для неголовних характерів існує аналітичне продовження до цілої функції. Для головного характера за модулем k існує аналітичне продовження до мероморфної функції, що має простий полюс із лишком ${\displaystyle {\frac {\varphi (k)}{k}}}$, де ${\displaystyle \varphi (k)}$ — функція Ейлера.

Добуток Ейлера для L-функцій Діріхле

Зважаючи на мультиплікативність характера Діріхле ${\displaystyle \chi }$ для ${\displaystyle L}$-функції Діріхле в області ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s>1}$ виконується розклад у добуток по простих числах]:

${\displaystyle L_{\chi }(s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}}$.

Ця формула відіграє важливу роль у застосуваннях ${\displaystyle L}$-функцій у теорії простих чисел.

Функційне рівняння

Нехай χ — примітивний характер модуля k. Позначимо

${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),}$

де Γ — гамма-функція, а символ a заданий як

${\displaystyle a={\begin{cases}0;&\chi (-1)=1,\\1;&\chi (-1)=-1,\end{cases}}}$.

Тоді виконується функційне рівняння

${\displaystyle \Lambda (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\Lambda (s,\chi ).}$

Тут τ(χ) позначає суми Гаусса

${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k).}$

Зауважимо, що |τ(χ)| = k^1/2.

Зв'язок з дзета-функцією Рімана

${\displaystyle L}$-функція Діріхле, для головного характера по модулю k, пов'язана з дзета-функцією Рімана ${\displaystyle \zeta (s)}$ формулою

${\displaystyle L_{\chi _{0}}(s)=\zeta (s)\prod _{p|k}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}$.

Ця формула дозволяє довизначити ${\displaystyle L_{\chi _{0}}(s)}$ для області ${\displaystyle Re(s)>0}$ з простим полюсом в точці ${\displaystyle s=1}$.

Зв'язок з дзета-функцією Гурвіца

L-можуть бути подані як лінійні комбінації дзета-функцій Гурвіца у раціональних точках. Для цілого числа k ≥ 1, L-функції для характерів по модулю k є лінійними комбінаціями, зі сталими коефіцієнтами, функцій ζ(s,q) де q = m/k і m = 1, 2, …, k. Тому дзета-функція Гурвіца для раціональних q має властивості близькі до L-функцій. Конкретно, якщо χ — характер Діріхле по модулю k то його L-функція Діріхле є рівною

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{m=1}^{k}\chi (m)\;\zeta \left(s,{\frac {m}{k}}\right).}$

Зокрема для головного характера одержується рівність для дзета функції Рімана:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{m=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {m}{k}}\right).}$

Корені L-функцій Діріхле

Якщо χ — примітивний характер Діріхле і χ(−1) = 1, тоді єдиними коренями функції L(s,χ) для яких Re(s) < 0 є від'ємні парні цілі числа. Якщо χ — примітивний характер Діріхле і χ(−1) = −1, тоді єдиними коренями функції L(s,χ) для яких Re(s) < 0 є від'ємні непарні цілі числа.

Для загального характеру ${\displaystyle \chi }$ існує примітивний характер ${\displaystyle \chi ^{*}}$, що породжує ${\displaystyle \chi }$. Тоді виконується рівність ${\displaystyle L_{\chi }(s)=L_{\chi ^{*}}(s)\prod _{p|k}\left(1-{\frac {\chi ^{*}(p)}{p^{s}}}\right)}$. Тому парні і непарні від'ємні цілі числа теж будуть коренями ${\displaystyle L_{\chi }(s)}$ залежно від знаку ${\displaystyle \chi (-1)}$. Але додатково коренями з Re(s) < 0 будуть точки в яких добуток позначений знаком добутку у формулі є рівним нулю.

Всі ці корені називаються тривіальними коренями L-функції Діріхле. Всі інші корені називаються нетривіальними. Відомо, що ${\displaystyle L_{\chi }(s)\neq 0}$ для ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)\geqslant 1}$, тому всі нетривіальні корені L-функції знаходяться у смузі ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$. Вивчення розподілу нетривіальних нулів є важливою проблемою теорії чисел.

Кожна L-функція Діріхле має нескінченну кількість нетривіальних нулів. Згідно з узагальненої гіпотези Рімана усі вони лежать на прямій ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)={\frac {1}{2}}}$.

Існує константа ${\displaystyle c}$, така що для всіх комплексних характерів модуля k якщо ${\displaystyle L_{\chi }(\beta +i\gamma )=0}$, то

${\displaystyle \beta <1-{\frac {c}{\log {\big (}k(2+|\gamma |){\big )}}}\ }$^[1].

Для дійсних характерів у цьому випадку відомо, що у області заданій цією нерівністю може бути щонайбільше 1 корінь, який може бути лише дійсним числом.

Інші обмеження можна ввести для L-функцій по заданому модулю. Якщо ${\displaystyle L_{\chi }(\beta +i\gamma )=0}$ для характера ${\displaystyle \chi }$ по модулю k то

${\displaystyle \beta <1-{\frac {c_{k}}{\log ^{2/3}{\big (}2+|\gamma |{\big )}\log ^{1/3}{\big (}\log(2+|\gamma |){\big )}}}\ }$,

де ${\displaystyle c_{k}}$ — константа, що залежить від ${\displaystyle k}$.