Теорема Брауера про інваріантність областей

Теорема про інваріантність областей стверджує, що образ відкритої підмножини евклідового простору при неперервному ін'єктивному відображенні у цей же евклідів простір є відкритою множиною. Теорема була доведена Лейтзеном Брауером. ^[1]

Формулювання

Нехай ${\displaystyle U}$ — відкрита підмножина у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ і ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ — ін'єктивне неперервне відображення. Тоді образ ${\displaystyle B=f(U)}$ є відкритою підмножиною у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, і ${\displaystyle f}$ є гомеоморфізмом між ${\displaystyle U}$ і ${\displaystyle B,}$ тобто є відкритим і замкнутим відображенням.

Образ ін'єктивного неперервного відображення відкритого інтервалу в площину є негомеоморфним самому інтервалу.

Зауваження

• Як видно на картинці, твердження теореми не є вірним для відображення між евклідовими просторами різної розмірності
• Також твердження є невірним для просторів нескінченної розмірності. Наприклад, відображення правого зсуву

  ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )}$

гільбертового простору у себе є неперервним і ін'єктивним, але не є відкритим.

Доведення

Дане доведення використовує властивості відкритих і замкнутих відображень, а також теорему Брауера — Жордана, що є узагальненням теореми Жордана про криві.

Для доведення теореми достатньо довести, що для будь-якої відкритої множини ${\displaystyle V\subset U}$ образ ${\displaystyle f(V)}$ є відкритою підмножиною у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Більш того достатньо довести твердження для елементів деякої бази топології, наприклад відкритих куль виду ${\displaystyle D=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ \lVert x-x_{0}\rVert <\delta \}}$ радіуса ${\displaystyle \delta }$ із центром ${\displaystyle x_{0}}$, що із своїм замиканням ${\displaystyle S=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ \lVert x-x_{0}\rVert =\delta \}}$ належать U.

${\displaystyle S}$ є компактною множиною і ${\displaystyle f|_{S}}$ є ін'єктивним неперервним відображенням із компактного простору ${\displaystyle S}$ у простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, що є гаусдорфовим. Як неперервне відображення із компактного простору в гаусдорфовий ${\displaystyle f|_{S}}$ є замкнутим відображенням (замкнута підмножина компактного простору є компактною, її образ при неперервному відображенні теж буде компактною підмножиною, а компактна підмножина гаусдорфового простору є замкнутою; тобто образ замкнутої множини при таких умовах теж э замкнутою множиною). Оскільки ${\displaystyle f|_{S}}$ є ін'єктивним, то він також є гомеоморфізмом. Тому образ ${\displaystyle f(S)}$ є гомеоморфним сфері і згідно з теоремою Брауера — Жордана доповнення ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus f(S)}$ є об'єднанням двох компонент зв'язності ${\displaystyle U_{1},U_{2}}$ перша з яких є обмежена, а друга — необмежена.

Множина ${\displaystyle f({\bar {D}})}$ (де ${\displaystyle {\bar {D}}}$ є замиканням ${\displaystyle D}$) є компактною, як образ компактної множини при неперервному відображенні. Тому ${\displaystyle f({\bar {D}})}$ є обмеженою множиною і ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus f({\bar {D}})}$ є необмеженою, зв'язаною областю. Звідси ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus f({\bar {D}})\subseteq U_{2}}$ або еквівалентно ${\displaystyle U_{1}\subseteq f(D).}$

Множина ${\displaystyle D}$ є зв'язаною, тому і ${\displaystyle f(D)}$ є зв'язаною і тому міститься в одній із компонент зв'язності ${\displaystyle U_{1},U_{2}}$. Оскільки ${\displaystyle U_{1}\subseteq f(D)}$ то цією компонентою є ${\displaystyle U_{1}}$ і тоді також ${\displaystyle f(D)\subseteq U_{1}}$ і остаточно ${\displaystyle f(D)=U_{1}.}$ Тобто образом довільної відкритої множини ${\displaystyle D}$ із вказаної бази є відкрита множина ${\displaystyle U_{1}}$ і відображення є відкритим.

Наслідки

• З теореми випливає, що Евклідові простори різної розмірності не є гомеоморфними.
• За допомогою теореми можна довести багато тверджень про існування опуклих многогранників, зокрема існування опуклого многогранника з даною розгорткою ^[2]

Узагальнення

• Теорема про інваріантності області допускає пряме узагальнення на відображення між многовидами однакової розмірності.
• Існують також узагальнення для деяких видів неперервних відображень з банахових просторів у себе. ^[3]