Insieme denso

N'insieme ${\displaystyle S\in X}$, 'ndoe che ${\displaystyle X}$ el xe un spassio topołogico, el se dixe denso so ${\displaystyle X}$ se ogni ponto ${\displaystyle x\in X}$ el sta anca in ${\displaystyle S}$ o 'l xe ponto d'acumulassion par ${\displaystyle S}$.

Definission conpagne

A seconda de ła strutura de ${\displaystyle X}$ ghe xe on fià de definission conpagne.

X spassio mètrico

Se ${\displaystyle X}$ el xe un spassio mètrico, eora ${\displaystyle S}$ el xe denso so ${\displaystyle X}$ se (e soło se) ${\displaystyle {\overline {S}}=X}$.

X spassio normà

Se ${\displaystyle X}$ el xe un spassio normà (overo un spassio vetoriałe cò na norma ${\displaystyle \|\cdot \|}$), eora ${\displaystyle S}$ el se dixe denso so ${\displaystyle X}$se vałe una de ste dò (che łe xe conpagne):

• ${\displaystyle \forall x\in X,\forall \epsilon >0\exists s\in S}$ t.c. ${\displaystyle \|x-s\|<\epsilon }$ ;
• ${\displaystyle \forall x\in X\;\exists \{s_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }\in S}$ t.c. ${\displaystyle s_{i}\longrightarrow x}$ .

Se invese ghemo na serie ${\displaystyle S_{0}\subset S_{1}\subset ...}$ de sotinsiemi de ${\displaystyle X}$ (cò ${\displaystyle S_{0}\neq \varnothing }$), eora se mostra che ${\displaystyle E_{n}(x):=\inf _{s_{n}\in S_{n}}\|x-s_{n}\|\longrightarrow 0\;\forall x\in X}$ se e soło se ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}}$ el xe denso so ${\displaystyle X}$.

Exenpi

${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R} }$ inte ła topołogia euclidea, cussita ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ el xe denso so ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Łe funsion continue so n'intervało ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ se poe scrivare fà limiti uniformi de na serie de połinomi, cussita ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {P} _{n}}$ el xe denso so ${\displaystyle \left({\mathcal {C}}([a,b]),\|\cdot \|_{\infty }\right)}$ .

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