拓撲空間

拓撲空間，開集之所也，又譯佈局、位相^[一]。開集者，無邊者也，疇人以為位相之本。拓撲空間之究，曰拓撲學。

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

定義

拓撲空間者，集（${\displaystyle A}$）也，且有冪集^[二]之子集，曰拓撲（${\displaystyle \tau }$）^[三][四]，其物曰開集。凡拓撲者，必以下是從：

• 空間與空集，皆開集（「${\displaystyle A,\emptyset \in \tau }$」）。
• 取拓撲之子集，其物之並，亦開集也（「${\displaystyle B\subseteq \tau \rightarrow \cup _{b\in B}b\in \tau }$」）。
• 兩開集之交，亦開集也（「${\displaystyle x,y\in \tau \rightarrow x\cap y\in \tau }$」）。

開集之補集，曰閉集。且有：

• 空間與空集，皆閉集。
• 取拓撲之子集，其物之交，亦閉集也。
• 兩閉集之並，亦閉集也。

例

• 集與空，成一拓撲。（「${\displaystyle \tau =\{A,\emptyset \}}$」）
• 冪集，成一拓撲，曰離散拓撲。（「${\displaystyle \tau =P(A)}$」）
• 度量空間，其開球之並，聚以成集，為空間之拓撲。
• 取一實數，凡小於此者成一集，曰實數之開集。所得拓撲，為實數之序拓撲。（「${\displaystyle \tau =\{(-\infty ,a)|a\in \mathbb {R} \}\cup \{\phi ,\mathbb {R} \}}$」）
• 平面上一切圖形，合子拓撲，亦拓撲空間也。