子拓撲

子拓撲者，拓撲所衍者也。子集合子拓撲，成拓撲子空間耳。以此觀之，三角、正方、曲線、流形，莫非拓撲空間也。

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

定義

拓撲空間甲（${\displaystyle (X,\tau )}$），其開集與子集乙（${\displaystyle S}$）之交，聚以成集，曰子拓撲（${\displaystyle \tau _{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace .}$）。乙合子拓撲，成拓撲空間，曰甲之拓撲子空間。

性

• 甲之拓撲子空間乙，其開集咸甲之開集交乙。
• 甲之拓撲子空間乙，其閉集咸甲之閉集交乙。
• 定義于甲之連續函數，其限于乙亦連續。
• 連續函數，倍域改為值域，亦連續（${\displaystyle f:X\to Y}$連續，則${\displaystyle f:X\to f(X)}$亦連續）。
• 拓撲子空間之拓撲子空間，亦拓撲子空間耳。

例

• 若實數乾（a）視為「乾，零」對（(a,0)），則實數乃平面之拓撲子空間。
• 三角，正方，平面，線段，皆平面之拓撲子空間。

拓撲術語

拓撲｜ 子空間｜ 積空間｜ 商空間｜ 拓撲分類｜ 點｜ 內｜ 外｜ 極限點｜ 孤點｜ 周界｜ 曲線｜ 道路｜ 開集｜ 閉集｜ 閉包｜ 閉開集｜ 分離｜ 稠密｜ 度量｜ 距｜ 有界｜ 鄰域｜ 覆蓋｜ 緊集｜ 連通｜ 道路連通｜ 單連通｜ 局部｜ 基｜ 準基｜ 連續｜ 開函數｜ 閉函數｜ 同胚｜ 同倫｜ 拓撲不變量