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幂数

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幂数[1](英语:powerful number)也称为幂次数,是指一正整数,其所有素因数的平方亦是约数,换言之,若存在一素因数,则也是的约数。

幂数可表示为一个平方数立方数的乘积,若为正整数(包括1在内),即为幂数。而平方数及立方数本身(及整数的更高次方)也是幂数。

保罗·埃尔德什乔治·塞凯赖什都曾针对这类数字进行研究,而数学家Solomon W. Golomb将这类的数命名为“powerful number”,“powerful”应该是指数字由许多所组成,但此词恰巧也有“强大的”、“有力的”的意思。

以下是1000以内幂数的列表:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 (OEIS中的数列A001694)。

数学性质

幂数的素因数分解中,各素因数指数均大于1。

幂数的倒数的和为

其中

p为所有的素数
黎曼ζ函数
阿培里常数[2]

若用k(x)来表示当1≤nx时,幂数n的个数,则k满足以下的不等式

[2]

佩尔方程x2-8y2=1有无限多个正整数解,因此存在无限多组连续的幂数(若xy为正整数解,则x2及8y2即为二个连续的幂数),其中最小的是8和9[2]。而8和9恰好也是唯一一组连续的次方数卡塔兰猜想,后来已被数学家普雷达·米哈伊列斯库证明)。

幂数的和与差

每一个奇数都可以表示为二个连续数字的平方的差:(k + 1)2 = k2 + 2k +12,因此 (k + 1)2 - k2 = 2k + 1。而每一个4的倍数都可以表示为二个彼此差2的正整数,其平方的差:(k + 2)2 - k2 = 4k + 4。以上数字均可表示为二平方数的差,因此可就是二个幂数的差。

但无法被4整除的偶数(即奇偶数英语Singly even number)无法表示为二个平方数的差,但不确定是否可表示为二个幂数的差,然而Golomb发现以下的等式

2=33-52
10=133-37
18=192-73=32(33-52)

以上的等式未包括6,Golomb猜想有无穷多个奇偶数无法表示为二个幂数的差,不过后来Narkiewicz发现6也可以表示为二个幂数的差:

6=5473-4632

而且可以找到无限多组的幂数,二个幂数之间的差为6。而McDaniel证明每个整数都有无限多组表示为二个幂数的差的方法[3]

保罗·埃尔德什猜想每一个足够大的整数均可表示为最多三个幂数的和,后来由Roger Heath-Brown证实了保罗·埃尔德什的猜想[4]

一般化

幂数的素因数分解中,所有的指数均不小于2。以此概念再延伸,若一整数的素因数分解中,所有的指数均不小于k,可称为k-幂数。

(2k+1}-1)k, 2k(2k+1-1)k, (2k+1-1)k+1

是由k-幂数所组成的等差数列,若a1, a2, ..., as是由k-幂数所形成的等差数列,公差为d,则

a1(as+d)k, a2(as+d)k, ..., as(as+d)k, (as+d)k+1

则是由s+1个项k-幂数所组成的等差数列。

以下是一个有关k-幂数的恒等式:

ak(an+...+1)k+ak+1(an+...+1)k+...+ak+n(an+...+1)k=ak(an+...+1)k+1

因此可以找到无穷多组的k-幂数,其个数为n+1个,而这些k-幂数的和也是k-幂数。Nitaj证明了存在无穷多组互素的3-幂数xyz,满足x+y=z的形式[5]。Cohn找到一个可产生无穷多组互素,且非立方数的3-幂数xyz,可满足x+y=z的方法:以下的数组

X=9712247684771506604963490444281, Y=32295800804958334401937923416351, Z=27474621855216870941749052236511

是方程32X3 + 49Y3 = 81Z3的解(因此32X3、49Y3及81Z3即为上述的3-幂数数组)。令X′=X(49Y3 + 81Z3), Y′ = −Y(32X3 + 81Z3), Z′ = Z(32X3 − 49Y3),再除以其最大公约数即为一组新的解。

関连项目

注解

  1. ^ 词都 幂数
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 S. W. Golomb, Powerful numbes, Amer. Math. Monthly 77(1970), 848--852.
  3. ^ Wayne L. McDaniel, Representations of every integer as the difference of powerful numbers, Fibonacci Quart. 20(1982), 85--87.
  4. ^ D. R. Heath-Brown, Sums of three square-full numbers, in Number Theory, I(Budapest, 1987), Colloq. Math. Soc. János Bolyai 51(1990), 163--171. Brown, 1987)
  5. ^ *A. Nitaj, On a conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Bull. London Math. Soc. 27 (1995), 317--318.

延伸阅读

  • J. H. E. Cohn, A conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Math. Comp. 67 (1998), 439--440. [1]
  • P. Erdös & G. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, Acta Litt. Sci. Szeged 7(1934), 95--102.
  • Richard Guy, Section B16 in Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; ISBN 0-387-20860-7.
  • D. R. Heath-Brown, Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7, Birkhäuser, Boston, 1988.

外部链接

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