乘积法则

关于组合数学的计数原理，请见“乘法原理”。

乘积法则（英语：Product rule），也称积定则、莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。

若已知两个可导函数${\displaystyle f,g}$及其导数${\displaystyle f',g'}$，则它们的积${\displaystyle fg}$的导数为：

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$

这个法则可衍生出积分的分部积分法。

莱布尼兹的发现

人们将这个法则的发现归功于莱布尼兹，以下是他的论述：设${\displaystyle u(x)}$和${\displaystyle v(x)}$为${\displaystyle x}$的两个可导函数。那么，${\displaystyle uv}$的微分是：

${\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}$

由于${\displaystyle du\cdot dv}$的可忽略性（法语：Négligeabilité），因此有：

${\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv\,}$

两边除以${\displaystyle dx}$，便得：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}$

若用拉格朗日符号来表达，则等式记为

${\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.\,}$

例子

• 假设我们要求出${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin(x)}$的导数。利用乘积法则，可得${\displaystyle f'(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)}$（这是因为${\displaystyle x^{2}}$的导数是${\displaystyle 2x}$，${\displaystyle \sin(x)}$的导数是${\displaystyle \cos(x)}$）。
• 乘积法则的一个特例，是“常数因子法则”，也就是：如果${\displaystyle c}$是实数，${\displaystyle f(x)}$是可微函数，那么${\displaystyle cf(x)}$也是可微的，其导数为${\displaystyle (c\times f)'(x)=c\times f'(x)}$。
• 乘积法则可以用来推出分部积分法和除法定则。

证明一：利用面积

假设

${\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}$

且${\displaystyle f}$和${\displaystyle x}$在x点可导。那么：

${\displaystyle h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}.\qquad \qquad (1)}$

现在，以下的差

${\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)}$

是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。

这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：

${\displaystyle f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)}$

因此，(1)的表达式等于：

${\displaystyle \lim _{w\to x}\left(f(x)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)}$

如果(5)式中的四个极限都存在，则(4)的表达式等于：

${\displaystyle \left(\lim _{w\to x}f(x)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)}$

现在：

${\displaystyle \lim _{w\to x}f(x)=f(x)\,}$

因为当${\displaystyle w\rightarrow x}$时，${\displaystyle f(x)}$不变；

${\displaystyle \lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)}$

因为${\displaystyle g}$在x点可导；

${\displaystyle \lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)}$

因为${\displaystyle f}$在x点可导；以及

${\displaystyle \lim _{w\to x}g(w)=g(x)\,}$

因为${\displaystyle g}$在x点连续（可导的函数一定连续）。

现在可以得出结论，(5)的表达式等于：

${\displaystyle f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,}$

证明二：使用对数

设${\displaystyle f=uv}$，并假设${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$是正数。那么：

${\displaystyle \ln f=\ln u+\ln v.\,}$

两边求导，得：

${\displaystyle {1 \over f}{d \over dx}f={1 \over u}{d \over dx}u+{1 \over v}{d \over dx}v}$

把等式的左边乘以${\displaystyle f}$，右边乘以${\displaystyle uv}$，即得：

${\displaystyle {d \over dx}f=v{d \over dx}u+u{d \over dx}v.}$

证明三：使用导数的定义

设 ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}$

且${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$在x点可导。那么：

${\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {h(x+\Delta {x})-h(x)}{\Delta {x}}}=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x+\Delta {x})+f(x)g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {[f(x+\Delta {x})-f(x)]\cdot g(x+\Delta {x})+f(x)\cdot [g(x+\Delta {x})-g(x)]}{\Delta {x}}}}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})-f(x)}{\Delta {x}}}\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}g(x+\Delta {x})+\lim _{\Delta {x}\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {g(x+\Delta {x})-g(x)}{\Delta {x}}}}$

${\displaystyle =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$.

推广

• 若有${\displaystyle n}$个函数${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}}$，则：

${\displaystyle \left({\prod _{k=1}^{n}{f_{k}}}\right)^{\prime }=\sum _{k=1}^{n}{\left({f'_{k}\cdot \prod _{j=1 \atop j\neq k}^{n}{f_{j}}}\right)}}$

• （莱布尼兹法则）若${\displaystyle f,g}$均为可导${\displaystyle n}$次的函数，则${\displaystyle fg}$的${\displaystyle n}$次导数为：

${\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}$

其中${\displaystyle {n \choose k}}$是二项式系数。

应用

乘积法则的一个应用是证明以下公式：

${\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}}$

其中${\displaystyle n}$是一个正整数（该公式即使当${\displaystyle n}$不是正整数时也是成立的，但证明需要用到其它方法）。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果${\displaystyle n=1}$，${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=1=1x^{1-1}}$

假设公式对于某个特定的${\displaystyle k}$成立，那么对于${\displaystyle k+1}$，我们有：

${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{k+1}&{}={d \over dx}\left(x^{k}\cdot x\right)\\\\&{}=x{d \over dx}x^{k}+x^{k}{d \over dx}x\\\\&{}=x\left(kx^{k-1}\right)+x^{k}\cdot 1\\\\&{}=(k+1)x^{k}.\end{aligned}}}$

因此公式对于${\displaystyle k+1}$也成立。

参见

• 除法定则
• 倒数定则
• 链式法则
• 分部积分法