侧锥球状屋顶

侧锥球状屋顶（日语：側錐球形屋根、英语：Augmented sphenocorona）是一种由16个三角形和1个正方形组成的十七面体^[1]，为约翰逊多面体的其中一个，索引为J₈₇^[2]。它虽然可由球状屋顶（J₈₆）于正方形面上增加一正四角锥（J₁）来构成^[2]，但无法由帕雷托立体（正多面体）和阿基米得立体（半正多面体）经过切割、增补而得来。约翰逊多面体是凸多面体，面皆由正多边形组成但不属于均匀多面体，共有92种。这些立体最早在1966年由诺曼·约翰逊（Norman Johnson）命名并给予描述^[3]。

侧锥球状屋顶

类别	约翰逊多面体 J86 - J87 - J88
识别
名称	侧锥球状屋顶 augmented sphenocorona
别名	側錐球形屋根（日语）
参考索引	J87
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	auwaco
性质
面	17
边	26
顶点	11
欧拉特征数	F=17, E=26, V=11 （χ=2）
组成与布局
面的种类	4+6×2个三角形 1个正方形
顶点图	1个(34) 2个(33.4) 3×2个(35) 2个(34.4)
对称性
对称群	Cs群
特性
凸
图像
（展开图）

性质

侧锥球状屋顶共由17个面、26条边和11个顶点所组成^[4][5][6][7]。在其17个面中，有16个三角形面和1个正方形面^[5]。在其11个顶点中有1个顶点是4个三角形的公共顶点，在顶点图中可以用[3⁴]来表示^[7][8]、还有6个顶点是5个三角形的公共顶点^[7]，在顶点图中可以用[3⁵]来表示^[8]、还有2个顶点是3个三角形和1个正方形的公共顶点，在顶点图中可以用[3³,4]来表示^[8]、剩下的2个顶点是4个三角形和1个正方形的公共顶点，在顶点图中可以用[3⁴,4]来表示^[8]。

构成

侧锥球状屋顶可以透过在球状屋顶（J₈₆）的正方形面上叠上一个正四角锥构成，叠上之后正四角锥侧面与球状屋顶另一个正方形面的角度将会非常接近平角，几乎是共面的，但还未达到共面的状态：其二面角约为171.8°。^[6]

体积与表面积

若一个侧锥球状屋顶边长为${\displaystyle a}$，则其表面积${\displaystyle A}$为：^[9]

${\displaystyle A=\left(1+4{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 7.92820a^{2},}$^[10]

而其体积${\displaystyle V}$为：

${\displaystyle V=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\approx 1.75105a^{3}.}$^[11]

顶点坐标

要计算侧锥球状屋顶的顶点坐标可以从球状屋顶开始计算，然后再补上侧锥多出来的顶点。边长为2的球状屋顶的顶点坐标之计算可以先令k ≈ 0.85273为下列四次式的最小实根：

${\displaystyle 60x^{4}-48x^{3}-100x^{2}+56x+23.}$

则边长为2的球状屋顶之顶点坐标可以由下列顶点的轨道的并集在沿xz平面和yz平面镜射所产生的空间对称群之群作用下给出：^[12]

${\displaystyle \left(0,1,2{\sqrt {1-k^{2}}}\right),\,(2k,1,0),\left(0,1+{\frac {\sqrt {3-4k^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}}}},{\frac {1-2k^{2}}{\sqrt {1-k^{2}}}}\right),\,\left(1,0,-{\sqrt {2+4k-4k^{2}}}\right)}$

最后计算其中一个正方形面的质心和该正方形面的法向量后，可以得出其最后一个顶点的位置为：

${\displaystyle \left(k+{\sqrt {2-2k^{2}}},0,k+{\sqrt {2-2k^{2}}}\right).}$

另一个角度的边长为2的侧锥球状屋顶顶点坐标也可以表示为：^[6]

${\displaystyle \left(0,\,0,\,\pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(\pm A,\,{\sqrt {B}},\,\pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(0,\,{\sqrt {C}},\,\pm D\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1,\,{\sqrt {E}},\,0\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {A+B{\sqrt {2}}}{2}},\,{\frac {B-A{\sqrt {2}}}{2}},\,0\right)}$

其中，${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle D}$和${\displaystyle E}$为下列方程式的实根：^[6]

${\displaystyle 15A^{4}-24A^{3}-100A^{2}+112A+92=0,\qquad 1\leqslant A\leqslant 2}$

${\displaystyle 225B^{4}-24B^{3}-3176B^{2}-96B+3600=0,\qquad 1\leqslant B\leqslant 2}$

${\displaystyle 225C^{4}-24C^{3}-3176C^{2}-96C+3600=0,\qquad 3\leqslant C\leqslant 4}$

${\displaystyle 15D^{4}-36D^{3}-82D^{2}+100D+95=0,\qquad 1\leqslant D\leqslant 2}$

${\displaystyle E^{2}-4E-20=0,\qquad 6\leqslant E\leqslant 7}$

其中，${\displaystyle B}$和${\displaystyle C}$是同个方程式但不同实根。${\displaystyle E}$可以表达为${\displaystyle 2+2{\sqrt {6}}}$。^[6]

这些数值的近似值为：^[6]

${\displaystyle A}$ ≈ 1.705453885692834

${\displaystyle {\sqrt {B}}}$ ≈ 1.044713857367277

${\displaystyle {\sqrt {C}}}$ ≈ 1.914399800381786

${\displaystyle D}$ ≈ 1.578855253321743

${\displaystyle {\sqrt {E}}}$ ≈ 2.626590848527109

相关多面体

• 
  球状屋顶
  （原始的球状屋顶立体）
• 
  球状屋顶欠侧锥
  （移除一个五角锥的球状屋顶）
• 
  侧锥球状屋顶
  （在正方形面叠上正四角锥的球状屋顶）
• 
  加长型球状屋顶
  （正方形附近的4个位置上各加上1个正三角形的球状屋顶）
• 
  广底加长型球状屋顶
  （“屋顶”部分由3个正方形组成的球状屋顶）
• 
  广底加长型球状屋顶欠侧锥
  （移除一个五角锥的广底加长型球状屋顶）
• 
  五角锥球状屋顶
  （合并两个移除了两个正三角形的球状屋顶）

参见

• 约翰逊多面体
• 球状屋顶
• 正四角锥
• 多面体