加长型球状屋顶

加长型球状屋顶（日语：長球形屋根、英语：Sphenomegacorona）是一种由16个三角形和2个正方形组成的十八面体^[1]，为约翰逊多面体的其中一个，索引为J₈₈^[2]。它无法由帕雷托立体（正多面体）和阿基米得立体（半正多面体）经过切割、增补而得来，是约翰逊多面体中的基本立体之一。约翰逊多面体是凸多面体，面皆由正多边形组成但不属于均匀多面体，共有92种。这些立体最早在1966年由诺曼·约翰逊（Norman Johnson）命名并给予描述^[3]。

加长型球状屋顶

类别	约翰逊多面体 J87 - J88 - J89
识别
名称	加长型球状屋顶 sphenomegacorona
别名	長球形屋根（日语）
参考索引	J88
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	wamco
性质
面	18
边	28
顶点	12
欧拉特征数	F=18, E=28, V=12 （χ=2）
组成与布局
面的种类	16个三角形 2个正方形
顶点图	2个(34) 2个(32.42) 2×2个(35) 4个(34.4)
对称性
对称群	C2v群
特性
凸
图像
（展开图）

性质

加长型球状屋顶共由18个面、28条边和12个顶点所组成^[4][5][6][7]。在其18个面中，有16个正三角形和2个正方形^[5]。在其12个顶点中，有2个顶点是4个正三角形的公共顶点^[7]，在顶点图中可以用[3⁴]来表示^[8]、还有4个顶点是5个正三角形的公共顶点^[7]，在顶点图中可以用[3⁵]来表示^[8]、还有4个顶点是4个正三角形和1个正方形的公共顶点^[7]，在顶点图中可以用[3⁴,4]来表示^[8]、剩下的2个顶点是2个正三角形和2个正方形的公共顶点^[7]，在顶点图中可以用[3²,4²]来表示^[8]。

体积与表面积

若一个加长型球状屋顶边长为${\displaystyle a}$，则其表面积${\displaystyle A}$为：^[9]

${\displaystyle A=\left(2+4{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 8.92820a^{2},}$^[10]

而其体积${\displaystyle V}$为：

${\displaystyle V=\xi a^{3}\approx 1.94811a^{3},}$

其中的常数${\displaystyle \xi }$由 A334114给出^[11]，其为下列多项式的其中一个实根，约为1.948108228859^[11]：

${\displaystyle {\begin{aligned}&1680x^{16}-4800x^{15}-3712x^{14}+17216x^{13}+1568x^{12}-24576x^{11}+2464x^{10}+17248x^{9}\\&\quad {}-3384x^{8}-5584x^{7}+2000x^{6}+240x^{5}-776x^{4}+304x^{3}+200x^{2}-56x-23.\end{aligned}}}$

顶点坐标

边长为2的加长型球状屋顶的顶点坐标为：

${\displaystyle \left(\pm 1,\,0,\,2B\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1,\,\pm 2k,\,0\right)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {C+B}{B}},\,0,\,{\frac {D}{B}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\,\pm 1,\,-{\sqrt {2+4k-4k^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm \left(1+{\frac {CD}{B^{3}}}\right),\,0,\,{\frac {2k^{4}-1}{B^{3}}}\right)}$

其中，${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$和${\displaystyle D}$为：

${\displaystyle B={\sqrt {1-k^{2}}}}$

${\displaystyle C={\sqrt {3-4k^{2}}}}$

${\displaystyle D=1-2k^{2}}$

其中，${\displaystyle k}$ ≈ 0.59463是下列多项式的做小实根：

${\displaystyle {\begin{aligned}&1680x^{16}-4800x^{15}-3712x^{14}+17216x^{13}+1568x^{12}-24576x^{11}+2464x^{10}+17248x^{9}\\&\quad {}-3384x^{8}-5584x^{7}+2000x^{6}+240x^{5}-776x^{4}+304x^{3}+200x^{2}-56x-23.\end{aligned}}}$

这些坐标也可以由下列顶点的轨道的并集在沿xz平面和yz平面镜射所产生的空间对称群之群作用下给出：^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(0,1,2{\sqrt {1-k^{2}}}\right),\,(2k,1,0),\,\left(0,{\frac {\sqrt {3-4k^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}}}}+1,{\frac {1-2k^{2}}{\sqrt {1-k^{2}}}}\right),\\&\left(1,0,-{\sqrt {2+4k-4k^{2}}}\right),\,\left(0,{\frac {{\sqrt {3-4k^{2}}}\left(2k^{2}-1\right)}{\left(k^{2}-1\right){\sqrt {1-k^{2}}}}}+1,{\frac {2k^{4}-1}{\left(1-k^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right)\end{aligned}}}$

相关多面体

• 
  球状屋顶
  （原始的球状屋顶立体）
• 
  球状屋顶欠侧锥
  （移除一个五角锥的球状屋顶）
• 
  侧锥球状屋顶
  （在正方形面叠上正四角锥的球状屋顶）
• 
  加长型球状屋顶
  （正方形附近的4个位置上各加上1个正三角形的球状屋顶）
• 
  广底加长型球状屋顶
  （“屋顶”部分由3个正方形组成的球状屋顶）
• 
  广底加长型球状屋顶欠侧锥
  （移除一个五角锥的广底加长型球状屋顶）
• 
  五角锥球状屋顶
  （合并两个移除了两个正三角形的球状屋顶）

参见

• 约翰逊多面体
• 多面体