塑胶数

塑胶数或银数是一元三次方程 ${\displaystyle x^{3}=x+1\,}$ 的唯一一个实数根，其值为

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}}$

塑胶数

塑胶数
数表—无理数 ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {2}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}\varphi }$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {3}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {5}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}\delta _{S}}$ - ${\displaystyle \color {blue}e}$ - ${\displaystyle \color {blue}\pi }$
识别
种类	无理数
符号	${\displaystyle \rho }$
位数数列编号	A060006
性质
连分数	[1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80 ...][1]
以此为根的多项式或函数	${\displaystyle x^{3}-x-1=0\,}$
表示方式
值	${\displaystyle \rho \approx }$1.3247179572...
代数形式	${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {9+{\sqrt {69}}}{18}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {9-{\sqrt {69}}}{18}}}}$
二进制	1.010100110010000010110111…
八进制	1.246202672354510453326027…
十进制	1.324717957244746025960908…
十六进制	1.5320B74ECA44ADAC178897C4…

约等于${\displaystyle 1.3247179572447460259609}$ （OEIS数列A060006）。

塑胶数对于佩兰数列和巴都万数列，就如黄金分割对于斐波那契数列——是两项的比的极限。它亦是最小的皮索数。

塑胶数的来源

塑胶数是方程${\displaystyle x^{3}=x+1\,}$的唯一实数根。

对于方程${\displaystyle x^{3}=x+1\,}$，现将等式右边变为0，即

${\displaystyle x^{3}-x-1=0\,}$

由勘根定理可判断出该实根大小介于1与2之间，设

${\displaystyle x={\frac {\lambda }{y}}+y\,}$，

则

${\displaystyle y={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {x^{2}-4\lambda }}\,}$

得到

${\displaystyle -1-y-{\frac {\lambda }{y}}+\left(y+{\frac {\lambda }{y}}\right)^{3}=0\,}$

等式两边同时乘 ${\displaystyle y^{3}}$ 得

${\displaystyle y^{6}+y^{4}\left(3\lambda -1\right)-y^{3}+y^{2}\left(3\lambda ^{2}-\lambda \right)+\lambda ^{3}=0\,}$

令${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{3}}\,}$，将其带入上面方程，并设${\displaystyle z=y^{3}\,}$，得到一个${\displaystyle z}$的二次方程

${\displaystyle z^{2}-z+{\frac {1}{27}}=0\,}$

解得

${\displaystyle z={\frac {1}{18}}\left(9+{\sqrt {69}}\right)\,}$

根据${\displaystyle z=y^{3}\,}$，得

${\displaystyle y^{3}={\frac {1}{18}}\left(9+{\sqrt {69}}\right)\,}$

则${\displaystyle y}$有实数解

${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}\,}$

根据${\displaystyle y}$与${\displaystyle \lambda }$的关系，得${\displaystyle y={\tfrac {x}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {x^{2}-{\tfrac {4}{3}}}}\,}$，得${\displaystyle x}$的实数解

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}\,}$