小星形五角化十二面体

在几何学中，小星形五角化十二面体（英文：Small stellapentakis dodecahedron）是一种所有面皆全等的非凸多面体，由60个互相相交的等腰钝角三角形组成，其索引为DU₃₇。美国数学家温尼尔（英语：Magnus J. Wenninger）在他的书中列出将大三角化八面体编为W₇₅^[1][2]，其对偶多面体是一种均匀多面体，由12个五角星和12个正十边形组成，称为截角大十二面体^[3]。

小星形五角化十二面体

类别	均匀多面体对偶 星形多面体
对偶多面体	截角大十二面体
识别
名称	小星形五角化十二面体
参考索引	DU37, W75
性质
面	60
边	90
顶点	24
欧拉特征数	F=60, E=90, V=24 （χ=-6）
组成与布局
面的种类	60个钝角等腰三角形
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
特性
等面、非凸
图像
截角大十二面体 （对偶多面体）

性质

小星形五角化十二面体由60个面、90条边和24个顶点组成^[4]，是一种由60个全等的等腰顿角三角形组成的六十面体。

二面角

小星形五角化十二面体的二面角为^[5]：

${\displaystyle \cos ^{-1}(-{\frac {24+5{\sqrt {5}}}{41}})\approx 2.60227\approx 149.099^{\circ }}$

顶点坐标

如果一个小星形五角化十二面体的几何中心位于原点且其对偶边长为1单位长，则其顶点坐标为^[6]：

${\displaystyle (\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},0,\pm {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{4}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},0)}$、

${\displaystyle (0,\pm {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {5(3-{\sqrt {5}})}{4}},0,\pm {\frac {5({\sqrt {5}}-1)}{4}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {5({\sqrt {5}}-1)}{4}},\pm {\frac {5(3-{\sqrt {5}})}{4}},0)}$、

${\displaystyle (0,\pm {\frac {5({\sqrt {5}}-1)}{4}},\pm {\frac {5(3-{\sqrt {5}})}{4}})}$。

其中，有正负号的代表其全排列，例如（±1,±2）表示（1,2）、（1,-2）、（-1,-2）、（-1,2）。

面的组成

小星形五角化十二面体由60个全等的等腰顿角三角形组成，其90条边中，有30条来自等腰三角形的底边、60条来自等腰钝角三角形的腰。

由于小星形五角化十二面体的面有跟其他的面相交的性质，因此，会导致面有部分隐没在图形内部，如下图，露在外面的部分已蓝色表示、隐没于形状内部的部分以白色表示，黑线为与其他面的交线。

相关多面体

对偶复合体

小星形五角化十二面体与其对偶的复合体为复合截角大十二面体小星形五角化十二面体 。其共有84个面、180条边和84个顶点，其尤拉示性数为-12，亏格为7，有12个非凸面^[7]。

参见

• 小星形十二面体