截角大十二面体

在几何学中，截角大十二面体是一种具有二十面体对称非凸均匀多面体，由24个面组成，其结构可以视为切去大十二面体的12个顶点而得，其具有12对互相平行面，因此也可以视为一种平行多面体，其对偶多面体为小星形五角化十二面体^[1][2]。

截角大十二面体

类别	星形均匀多面体
对偶多面体	小星形五角化十二面体
识别
名称	截角大十二面体
参考索引	U37, C47, W75
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tigid
数学表示法
施莱夫利符号	t0,1{5,5/2}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	2 5/2 | 5 2 5/3 | 5
性质
面	24
边	90
顶点	60
欧拉特征数	F=24, E=90, V=60 （χ=-6）
组成与布局
面的种类	12个五角星{5/2} 12个正十边形{10}
面的布局 （英语：Face configuration）	12{5/2}+12{10}
顶点图	10.10.5/2
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
10.10.5/2 （顶点图） 小星形五角化十二面体 （对偶多面体）

分类

1993年，兹维·喀拉·埃尔发表的论文《Uniform Solution for Uniform Polyhedra》中，将截角大十二面体编号为K₄₂，表示其为一个二十面体对称的多面体^[3]，同一年，马德尔参考兹维·喀拉·埃尔的分类方式，将截角大十二面体给予索引编号U₃₇^[4]。其也被考克斯特的论文收录，并给予编号C₄₇^[5]。温尼尔也在他的书《多面体模型》中将之给予编号W₇₅^[6]。

性质

截角大十二面体由24个面、90条边和60个顶点组成^[7]，是一种二十四面体。每个顶点都是2个十边形和1个五角星的公共顶点。

面的组成

截角大十二面体由24个面组成，在其二十四个面中，有12个五角星面和12个十边形面，其中有12个面是非凸面。

二面角

截角大十二面体有两种二面角，包括了十边形-十边形二面角和十边形-五角星二面角。其中十边形-十边形二面角为五平方根倒数的反余弦值；十边形-五角星二面角为负的五平方根倒数之反余弦值。^[8]

${\displaystyle {\text{Angle}}_{\left\{10\right\},\left\{10\right\}}=\cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 63.434948823^{\circ }}$

${\displaystyle {\text{Angle}}_{\left\{10\right\},\left\{{^{5}}/{_{2}}\right\}}=\cos ^{-1}{\frac {-{\sqrt {5}}}{5}}\approx 116.565051177^{\circ }}$

其中${\displaystyle {\left\{10\right\},\left\{{^{5}}/{_{2}}\right\}}}$为十边形和五角星的施莱夫利符号。

顶点坐标

边长长度为1单位且几何中心位于原点的截角大十二面体，其顶点坐标为^[9]

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},0,\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}},0)}$、

${\displaystyle (0,\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}})}$。

相关多面体

截角大十二面体的顶点布局与多种多面体相同。其中三种为均匀多面体相同，分别为非凸大斜方截半二十面体、大十二面截半二十面体和大斜方十二面体；还有2种复合多面体，分别是六复合五角柱（英语：Compound of six pentagonal prisms）和二十复合五角柱（英语：Compound of twelve pentagonal prisms）。

非凸大斜方截半二十面体	大十二面截半二十面体	大斜方十二面体
截角大十二面体	六复合五角柱（英语：Compound of six pentagonal prisms）	二十复合五角柱（英语：Compound of twelve pentagonal prisms）

这个多面体是大十二面体经过截角变换后的结果，大十二面体在不同的截角深度也得到有不同的结果，例如节到中点后得到截半大十二面体，过截角后得到的立体则与对偶多面体的截角等价，为截角小星形十二面体。这种多面体外观与正二十面体几乎一样，但其有24个面，12个面是来自截角后的顶点以及12个截角的五角星与之重合。

名称	小星形十二面体	截角小星形十二面体	截半大十二面体	截角大十二面体	大十二面体
考克斯特 迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
图像

对偶复合体

小星形五角化十二面体与其对偶的复合体为复合截角大十二面体小星形五角化十二面体 。其共有84个面、180条边和84个顶点，其尤拉示性数为-12，亏格为7，有12个非凸面^[10]。

参见

• 大十二面体