布朗常数

1919年，挪威数学家玮哥·布朗（Viggo Brun）证明了所有孪生素数的倒数之和收敛于一个数学常数，称为布朗常数（Brun's constant），记为B₂ （OEIS数列A065421）。他的证明也对筛法的发展造成历史性的影响，而这是因为他为了证明此定理而开发了布朗筛法这种筛法并进而影响素数研究之故。

布朗常数

识别
发现	玮哥·布朗
符号	${\displaystyle B_{2}}$
位数数列编号	A065421
性质
定义	${\displaystyle \sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}}$
表示方式
值	1.902160583
二进制	1.111001101…
八进制	1.715717767…
十进制	1.902160583…
十六进制	1.E6F3FEF7…

数学描述

B₂ （OEIS数列A065421）的形式如下：

${\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots }$

以上收敛的结论，称为布朗定理。而所有素数的倒数之和则是发散的。假如以上的级数发散，则立刻就可以证明孪生素数猜想。但由于它收敛，就不知道是否有无穷多个孪生素数（若孪生素数之平方根的倒数和发散，则亦可知其为无限多）。类似地，如果证明了布朗常数是无理数，也立刻就可以证明孪生素数猜想。但如果它是有理数，则仍然无法知道孪生素数是不是无限的。

目前已知1.9 < B₂，但不知道是否能大于2。

数值估计

这数列收敛极慢，Thomas Nicely指出，即使在最初的十亿项彼此相加后，其相对误差值依旧超过5%。^[1]

Thomas R. Nicely把孪生素数算到10¹⁴，估计布朗常数大约为1.902160578^[1]，Nicely在这过程中也发现了奔腾浮点除错误；之后Nicely在2010年1月18日将估计延展到大小约为1.6×10¹⁵的孪生素数上，但这还不是截至目前为止最大的计算。

目前最精确的估计是Pascal Sebah和Patrick Demichel在2002年发现的，他们把孪生素数算到了10¹⁶：^[2]

B₂ ≈ 1.902160583104.

截至目前为止，对于布朗常数的估计如下：

年分	B2	小于#的孪生素数数量	发现者
1976	1.902160540	1 × 1011	Brent
1996	1.902160578	1 × 1014	Nicely
2002	1.902160583104	1 × 1016	Sebah及Demichel

最后一项是根据小于${\displaystyle 10^{16}}$的孪生素数和1.830484424658...的外推而来。Dominic Klyve在一篇未发表的论文证明说在广义黎曼猜想成立的状况下，B₂ < 2.1754；而在不假定任何条件的状况下，B₂ < 2.347。^[3]

除此以外，还有一个四胞胎素数的布朗常数，它是所有的四胞胎素数的倒数之和，记为B₄：

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

它的值为

B₄ =0.87058 83800 ± 0.00000 00005。根据Nicely的说法，其误差范围的置信区间为99%。^[1]

这常数不该跟也记做B₄、对于形如${\displaystyle (p,p+4)}$的素数对倒数和的表兄弟素数的布朗常数搞混，倭尔夫（Wolf）估计说形如${\displaystyle (p,p+n)}$的素数对的倒数和大约为${\displaystyle {\frac {4}{n}}}$。

延伸结果

设${\displaystyle C_{2}=0.6601\ldots }$（OEIS数列A005597）为孪生素数常数，则有猜想认为

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

特别地，对于任意充分大的${\displaystyle x0}$以及任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$，有

${\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

对于特殊情况，目前已有证明；在近期，Jie Wu正明说对于任意充分大的${\displaystyle x0}$而言，有

${\displaystyle \pi _{2}(x)<4.5\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

其中4.5的部分相当于上述的${\displaystyle \varepsilon \approx 3.18}$。

数学之外

Thomas Nicely在研究布朗常数时曾使用包括66 MHz Intel Pentium处理器的电脑对布朗常数进行计算，但用包括66 MHz Intel Pentium处理器的电脑处理长除法时一直出错^[4] 。他用一个数字去除以824,633,702,441时，答案一直是错误的，而这使得奔腾浮点除错误受到揭发，进而造成Intel的公关灾难，并导致英特尔在1994年受到4.75亿美元的损失。^[5]

另外Google曾使用三个数学常数作为交易金额，而其中一个常数是布朗常数。Google曾在北电网络的专利交易中出价1,902,160,540美元，而1.9021605...是布朗常数的约略值。

参见

• 孪生素数
• 孪生素数猜想
• 埃拉托斯特尼筛法
• 素数判定法则
• Meissel-Mertens常数
• 奔腾浮点除错误─Thomas Nicely在研究布朗常数时发现的技术错误。