希尔伯特第七问题

希尔伯特第七问题是希尔伯特的23个问题之一，此问题涉及无理数及超越数。

命题叙述

给定以下两个等价^[1]叙述：

1. 在等腰三角形中，若底角和顶角的比值为无理数的代数数，则底边和侧边长度的比值是否恒为超越数？
2. 若${\displaystyle b}$是无理数且为代数数、${\displaystyle a}$是非${\displaystyle 0,1}$的代数数，那么${\displaystyle a^{b}}$（例如${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$、${\displaystyle e^{\pi }}$=${\displaystyle i^{-2i}}$）是否恒为超越数？

问题的解决

第二个问题已于1934年由苏联数学家阿勒克山德·格尔丰德（俄语：Гельфонд, Александр Осипович）证明，德国数学家西奥多·施耐德也在1935年独立证明此问题，他们证明的结果即为格尔丰德-施奈德定理（${\displaystyle b}$是无理数的条件是必要的，否则若a是代数数，b是有理数，${\displaystyle a^{b}}$一定是代数数)。

若以广义的观点来看，这是通用的对数线性形（linear form in logarithms）的一个例子

${\displaystyle b\ln {\alpha }+\ln {\beta }=0}$

格尔丰德曾研究对数线性形，后来被艾伦·贝克解决了，此称为是格尔丰德猜想或是贝克定理（英语：Baker's theorem）。艾伦·贝克凭借此一成果获得1970年的菲尔兹奖。

在第二个问题成立后，也意味着第一个问题成立。

参照

• 格尔丰德-施奈德常数 ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$。
• 格尔丰德常数 ${\displaystyle e^{\pi }}$。