欧米加常数

欧米加常数是一个数学常数，定义为：

${\displaystyle \Omega \,\exp(\Omega )=1.\,}$

欧米加常数

欧米加常数
识别
种类	无理数 超越数
符号	${\displaystyle \Omega }$
位数数列编号	A030178
性质
定义	${\displaystyle \Omega e^{\Omega }=1}$
以此为根的多项式或函数	${\displaystyle xe^{x}-1=0}$
表示方式
值	${\displaystyle \Omega \approx }$0.5671432904... W(1)，W是朗伯W函数
二进制	0.100100010011000001001101…
十进制	0.567143290409783872999968…
十六进制	0.91304D7C74B2BA5EAFDDAA62…

它是W(1)的值，其中W是朗伯W函数。

Ω的值大约为0.5671432904097838729999686622 （OEIS数列A030178）。它具有以下的性质：

${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega ,\,}$

或

${\displaystyle \ln(1/\Omega )=\Omega .}$

我们可以用迭代的方法来计算Ω，从Ω₀开始，用下面的数列进行迭代：

${\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.\,}$

当n→∞时，这个数列收敛于Ω。

无理数和超越数

我们可以用e是超越数的事实来证明Ω是无理数。如果Ω是有理数，则存在整数p和q，使得

${\displaystyle {\frac {p}{q}}=\Omega }$

所以

${\displaystyle 1={\frac {pe^{\frac {p}{q}}}{q}}}$

${\displaystyle e={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}}$

这样，e就是p次代数数。但是，e实际上是超越数，所以Ω一定是无理数。

Ω实际上也是一个超越数，这可以由林德曼-魏尔斯特拉斯定理直接推出。如果Ω是代数数，exp(Ω)将会是超越数，exp⁻¹(Ω)也是超越数。但这与它是代数数的假设矛盾。

参见

• 朗伯W函数

参考文献

• Michon, G. P. "Final Answers: Numerical Constants." http://www.numericana.com/answer/constants.htm#omega （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Moll, V. H. "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals." MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. https://web.archive.org/web/20080402045620/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 欧米加常数. MathWorld.