泰勒斯定理

泰勒斯定理（英语：Thales' theorem）以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名，其内容为：若${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$是圆周上的三点，且${\displaystyle AC}$是该圆的直径，那么${\displaystyle \angle ABC}$必然为直角。或者说，直径所对的圆周角是直角。该定理在欧几里得《几何原本》第三卷中被提到并证明^[1]。

泰勒斯定理：如果${\displaystyle AC}$是直径，那么${\displaystyle \angle ABC}$是直角。

泰勒斯定理的逆定理同样成立，即：直角三角形中，直角的顶点在以斜边为直径的圆上。

证明

证法一

以下证明主要使用两个定理：

• 三角形的内角和等于180°
• 等腰三角形的两个底角相等

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  泰勒斯定理的动态演示图。
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  证明图。

设${\displaystyle O}$为圆心，因为${\displaystyle OA=OB=OC}$，所以${\displaystyle \bigtriangleup OAB}$和${\displaystyle \bigtriangleup OBC}$都是等腰三角形。因为等腰三角形底角相等，故有${\displaystyle \angle OBC=\angle OCB}$，且${\displaystyle \angle BAO=\angle ABO}$。设${\displaystyle \alpha =\angle BAO}$，${\displaystyle \beta =\angle OBC}$。在${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$中，因为三角形的内角和等于180°，所以有

${\displaystyle \alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta =180^{\circ }}$

${\displaystyle {2}\alpha +{2}\beta =180^{\circ }}$

${\displaystyle {2}(\alpha +\beta )=180^{\circ }}$

${\displaystyle \therefore \angle ABC=\alpha +\beta =90^{\circ }.}$

证法二

泰勒斯定理也可以用三角学方法证明，证明如下：

令${\displaystyle O=(0,0)}$, ${\displaystyle A=(-1,0)}$, ${\displaystyle C=(1,0)}$。此时，${\displaystyle B}$就是单位圆${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$上的一点。我们将通过证明${\displaystyle AB}$与${\displaystyle BC}$垂直，即它们的斜率之积等于–1，来证明这个定理。计算${\displaystyle AB}$和${\displaystyle BC}$的斜率：

${\displaystyle m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}}$

${\displaystyle m_{BC}={\frac {y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}}$

并证明它们的积等于–1:

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\=&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\=&-1\end{aligned}}}$

注意以上证明过程中运用了毕达哥拉斯三角恒等式${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$。

逆定理的证明

此证明使用两线的向量形成直角三角形，当且仅当其内积为零。设有直角三角形${\displaystyle ABC}$，和以${\displaystyle AC}$为直径的圆${\displaystyle O}$。设${\displaystyle O}$在原点，以方便计算。则${\displaystyle AB}$和${\displaystyle BC}$的内积为：

${\displaystyle (A-B)\cdot (B-C)=(A-B)\cdot (B+A)=|A|^{2}-|B|^{2}=0}$

${\displaystyle |A|=|B|}$

故${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$与圆心等距，即${\displaystyle B}$在圆上。

一般化以及有关定理

泰勒斯定理是“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”的一个特殊情况。

以下是泰勒斯定理的一个相关定理：

如果${\displaystyle AC}$是一个圆的直径，则：

• 若${\displaystyle B}$在圆内，则${\displaystyle \angle ABC>90^{\circ }}$
• 若${\displaystyle B}$在圆上，则${\displaystyle \angle ABC=90^{\circ }}$
• 若${\displaystyle B}$在圆外，则${\displaystyle \angle ABC<90^{\circ }}$

历史

泰勒斯并非此定理的首名发现者，古埃及人和巴比伦人一定已知这特性，可是他们没有给出证明。