浸没 (数学)

数学中，浸没（submersion）是微分流形之间的可微映射，其微分处处为满射。这是微分拓扑中的一个基本概念。浸没与浸入对偶。

定义

令M、N是微分流形，${\displaystyle f\colon M\to N}$是它们间的可微映射。映射f是点${\displaystyle p\in M}$处的浸没，若其微分

${\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$

是线性满射。^[1]这种情况下，p被称作映射f的正则点（regular point）；否则，p就是临界点。若原像${\displaystyle f^{-1}(q)}$中所有的点p都是正则点，则点${\displaystyle q\in N}$是f的正则值。在每点${\displaystyle p\in M}$上都是浸没的可微映射f也称作浸没，等价地，若f的微分${\displaystyle Df_{p}}$的秩等于N的维度，则f是浸没。

需要注意：有人用“临界点”描述f的雅可比矩阵的秩不取最大值的点。^[2]这在奇异理论中是更有用的概念。若M的维度不小于N的维度，则这两个临界点的概念是重合的；但若M的维度小于N的维度，则据上述定义，所有点都是临界点（微分不可能是满射），而雅可比矩阵的秩仍可能是最大的（若等于M的维度）。上述定义更常用，如在萨德定理的表述中。

浸没定理

给定m维、n维光滑流形之间的浸没${\displaystyle f\colon M\to N}$，${\displaystyle \forall x\in M}$，有围绕x的M的满射图（chart）${\displaystyle \phi :U\to \mathbb {R} ^{m}}$、围绕${\displaystyle f(x)}$的N的${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} ^{n}}$，使得f限制到浸没${\displaystyle f\colon U\to V}$，用坐标表示为${\displaystyle \psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$，就变为普通的正交投影。应用中，${\displaystyle \forall p\in N}$，f对应的纤维表示为${\displaystyle M_{p}=f^{-1}(\{p\})}$，可配备M的光滑子流形结构，其维度等于N与M维度之差。

该定理是反函数定理的结果（见反函数定理#流形）。

例如，考虑${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$由${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}}$给出。雅各比矩阵是

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}$

除原点外，这在每一点都有最大秩。另外，纤维

${\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$

在${\displaystyle t<0}$时是空集，${\displaystyle t=0}$时等于一个点。因此，我们只有一个光滑浸没${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\to \mathbb {R} _{>0},}$与子集${\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$是${\displaystyle t>0}$时的2维光滑流形。

示例

• 任何投影${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}$
• 局部微分同胚
• 黎曼浸没
• 光滑向量丛或更一般的光滑纤维化中的投影。微分的满射性是局部平凡化存在的必要条件。

球面之间的映射

浸没的一大类例子是高维球面之间的浸没，例如

${\displaystyle f:S^{n+k}\to S^{k}}$

其纤维维度为n，这是因为纤维（元素${\displaystyle p\in S^{k}}$的反像）是n维光滑流形。那么，若取路径

${\displaystyle \gamma :I\to S^{k}}$

并取拉回

${\displaystyle {\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}}$

就得到了一种特殊的协边的例子，称作有框架协边。实际上，有框协边群${\displaystyle \Omega _{n}^{fr}}$与稳定同伦群密切相关。

代数簇族

另一大类浸没由代数簇${\displaystyle \pi :{\mathfrak {X}}\to S}$给出，其纤维是光滑代数簇。若考虑其底流形，则得到光滑流形。例如椭圆曲线的魏尔施特拉斯族${\displaystyle \pi :{\mathcal {W}}\to \mathbb {A} ^{1}}$是被广泛研究的浸没，因为其包含了许多用于展示更复杂理论的技术，如交同调与错致层。这一族来自

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(x-t)\}}$

其中${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$是仿射线，${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$是仿射平面。由于考虑的是复簇，它们等价于复线与复平面${\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {C} ^{2}}$。注意我们实际上应该去掉${\displaystyle t=0,1}$，因为那里有奇点（有双根）。

局部正规形式

若${\displaystyle f:\ M\to N}$是p处的浸没，${\displaystyle f(p)=q\in N}$，则在M中存在p的开邻域U、在N中存在q的开邻域V，在p处有局部坐标${\displaystyle (x_{1},\ \ldots ,\ x_{m})}$，在q处有局部坐标${\displaystyle (x_{1},\ \ldots ,\ x_{n})}$，使得${\displaystyle f(U)=V}$，且在这些局部坐标中的映射f是标准投影

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

可知，在可微映射${\displaystyle f:\ M\to N}$的作用下，N中的正则值q在M中的全原像${\displaystyle f^{-1}(q)}$要么是空的，要么是${\displaystyle {\rm {dim}}M-{\rm {dim}}N}$维微分流形，但可能不连通。这是正则值定理的内容（也叫浸没定理）。尤其是，若f是浸没，则${\displaystyle \forall q\in N}$，结论都成立。

拓扑流形的浸没

一般拓扑流形的浸没也是良定义的。^[3]拓扑流形浸没是连续满射${\displaystyle f:\ M\to N}$，使得${\displaystyle \forall p\in M}$，对p上的某连续图ψ、f(p)处的φ，映射${\displaystyle \psi ^{-1}\circ f\circ \varphi }$等于射影映射${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$（${\displaystyle m={\rm {dim}}(M)\geq n={\rm {dim}}(N)}$）。

另见

• 埃雷斯曼纤维化定理