无穷元组合学

数学分支无穷元组合学（infinitary combinatorics），又称组合集合论（combinatorial set theory），是将组合学的想法推广到无穷集。研究对象有连续图、集合论的树、拉姆齐定理在无穷集的推广、马丁公理。在2010年，本分支的开展的研究还有：连续统上的组合学^[1]、奇异基数（英语：Regular cardinal）后继上的组合学^[2]。

无穷集的拉姆齐理论

设${\displaystyle \kappa ,\ \lambda }$为序数，${\displaystyle m}$为基数，${\displaystyle n}$为正整数。Erdős & Rado (1956)引入记号

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{n}}$

作为下列命题的速记：

若将${\displaystyle \kappa }$所有${\displaystyle n}$元子集的集合${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$，分划为${\displaystyle m}$份，则有一份包含序型为${\displaystyle \lambda }$的同质集。

所谓同质集，意思是${\displaystyle \kappa }$的子集，且其所有${\displaystyle n}$元子集皆在同一个分块中。也可以用染色的说法：

若有${\displaystyle m}$种色，并将${\displaystyle \kappa }$的每个${\displaystyle n}$元子集，各染一种色，则必有序型为${\displaystyle \lambda }$的同色集，即其所有${\displaystyle n}$元子集皆同色。

当${\displaystyle m}$为${\displaystyle 2}$时，可省略不写。

假设选择公理（AC），则不存在序数${\displaystyle \kappa }$使得${\displaystyle \kappa \rightarrow (\omega )^{\omega }}$。此即上段取${\displaystyle n}$有限的原因。虽然不允许${\displaystyle n}$为无穷大，但仍可以同时考虑任意大的${\displaystyle n}$。符号

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{<\omega }}$

表示命题“若将${\displaystyle \kappa }$的所有有限子集染成${\displaystyle m}$种色，则有序型为${\displaystyle \lambda }$的子集${\displaystyle X}$，使得其对每个${\displaystyle n}$，${\displaystyle X}$的所有${\displaystyle n}$元子集皆同色。”（但不同的${\displaystyle n}$之间，无需同色。）同样，当${\displaystyle m}$为${\displaystyle 2}$时，可省略不写。

还有变式： ${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda ,\mu )^{n}}$ 表示“若将${\displaystyle \kappa }$的所有${\displaystyle n}$元子集染成红、蓝两色，则或有序型为${\displaystyle \lambda }$的子集，其所有${\displaystyle n}$元子集皆为红，或有序型为${\displaystyle \mu }$的子集，其所有${\displaystyle n}$元子集皆为蓝。”

可以此记号表示的命题有：（下设${\displaystyle \kappa }$为基数）

${\displaystyle \aleph _{0}\rightarrow (\aleph _{0})_{k}^{n}}$对所有有限的${\displaystyle n,k}$成立（拉姆齐定理）。

${\displaystyle \beth _{n}^{+}\rightarrow (\aleph _{1})_{\aleph _{0}}^{n+1}}$（艾狄胥－雷多定理（英语：Erdős–Rado theorem））。

${\displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (\kappa ^{+})^{2}}$（谢尔宾斯基定理）

${\displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (3)_{\kappa }^{2}}$

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa ,\aleph _{0})^{2}}$ (艾狄胥－杜什尼克－米勒定理（英语：Erdős–Dushnik–Miller theorem））。

在无选择（choiceless，即选择公理不成立）的宇集中，上标为无穷的分划性质有可能成立。有部分是决定公理（AD）的推论，例如，当劳·马丁（英语：Donald A. Martin）证明，AD推出

${\displaystyle \aleph _{1}\rightarrow (\aleph _{1})_{2}^{\aleph _{1}}.}$

大基数

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一些大基数性质是用拉姆齐性质定义，如：

• 弱紧基数（英语：Weakly compact cardinal）${\displaystyle \kappa }$满足${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{2}}$；
• α艾狄胥基数（英语：Erdős cardinal）${\displaystyle \kappa }$是满足${\displaystyle \kappa \rightarrow (\alpha )^{\omega }}$的最小基数；
• 拉姆齐基数（英语：Ramsey cardinal）${\displaystyle \kappa }$满足${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{\omega }}$。