无零因子环

在抽象代数中，无零因子环（domain）指的是一类不是零环的环，在其中若${\displaystyle ab=0}$，则必有${\displaystyle a=0}$或${\displaystyle b=0}$，^[1]有时又称这样的环具有“零乘积性质（英语：Zero-product property）”；等价地说，无零因子环就是一个在其中0是唯一的左零因子（或等价地，右零因子）的环。

例子和非例子

• ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$不是无零因子环，而这是因为在这个环中的2跟3的像不是0，但其乘积是0；更一般地，对于任意的正整数${\displaystyle n}$而言，${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$这类的环是无零因子环，当且仅当${\displaystyle n}$是质数。
• 根据韦德伯恩小定理，有限无零因子环必然是有限域。
• 四元数构成一个非交换的无零因子环；更一般地，任何的除环都是无零因子环，而这是因为在除环中，任何不是零的元素都可逆之故。
• 所有的Lipschitz四元数（英语：Hurwitz quaternion）构成的环是一个非交换的无零因子环；而Lipschitz四元数指的是形如${\displaystyle a+bi+cj+dk}$，且${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$、${\displaystyle d}$皆为整数的四元数。
• 类似地，所有的赫维兹四元数（英语：Hurwitz quaternion）构成的环是一个非交换的无零因子环；而赫维兹四元数指的是形如${\displaystyle a+bi+cj+dk}$，且${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$、${\displaystyle d}$皆为整数或半整数的四元数。
• 矩阵环${\displaystyle M_{n}(R)}$在${\displaystyle n\geq 2}$时不会是无零因子环：在${\displaystyle R}$非零时，这样的矩阵环会有非零的零因子，甚至是0以外的幂零元。像例如说，矩阵单元${\displaystyle E_{12}}$的平方为零。
• 向量空间的张量代数，或等价地，一个域上的非交换变数的多项式的代数${\displaystyle \mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,}$，是一个无零因子环。这点可借由非交换单项式的序（英语：monomial order）来证明。
• 若${\displaystyle R}$是一个无零因子环，且${\displaystyle S}$是${\displaystyle R}$的欧尔扩张（英语：Ore extension），那${\displaystyle S}$也是无零因子环。
• 外尔代数（英语：Weyl algebra）是非交换的无零因子环。
• 任何域上的李代数的泛包络代数都是无零因子环。这点可由泛包络代数上的标准过滤和庞加莱-比科霍夫-伟多定理（英语：Poincaré–Birkhoff–Witt theorem）证明。

群环和零因子问题

设${\displaystyle G}$为群而${\displaystyle K}$为域，那一个问题是群环${\displaystyle R=K[G]}$是否是无零因子环？考虑下述等式：

${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n},}$

这等式显示，阶为n > 1且有限的元素${\displaystyle g}$会在${\displaystyle R}$中导出一个零因子。零因子问题问的是，这是否是唯一的阻碍。换句话说，

给定一个域${\displaystyle K}$和一个无扭化群${\displaystyle G}$，则群环${\displaystyle R=K[G]}$是否是一个无零因子环？

目前尚无反例，但截至2017年 (2017-Missing required parameter 1=month!)^[update]为止，这问题依旧未解决。

对于许多特定种类的群，这答案是肯定的。Farkas和Snider在1976年证明说如果${\displaystyle G}$是一个无扭化的有限扩张多循环群，且char K = 0，那群环${\displaystyle R=K[G]}$就是一个无零因子环。之后Cliff在1980年移除了域特征的条件；此外在1988年，Kropholler、Linnell和Moody将这类结果给推广到无扭化可解群及有限扩张可解群之上。而更早以前的米歇尔·拉扎尔（英语：Michel Lazard）在1965年做出、但其重要性被相关领域专家忽视将近二十年研究所处理的是${\displaystyle K}$是P进整数环而${\displaystyle G}$是${\displaystyle GL(n,Z)}$的同余子群（英语：congruence subgroup）的情况。

整环的谱

零因子有拓朴学上的解释，至少在交换环的情形下是如此：${\displaystyle R}$是一个整环，当且仅当${\displaystyle R}$是被约环（英语：reduced ring）且其谱${\displaystyle \mathrm {Spec} }$ ${\displaystyle R}$是一个不可约拓朴空间（英语：Hyperconnected space）。这其中第一个性质被认为包含了无穷小的讯息，而第二个性质则是更为几何的。

一个例子如次：在${\displaystyle k}$是一个域的状况下，${\displaystyle k[x,y]/(xy)}$这个环不是无零因子环，而这是因为在这个环中，${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的像是零因子之故。在几何上，这对应到这个环作为${\displaystyle x=0}$和${\displaystyle y=0}$这两条线的联集的谱不可约的事实。事实上这两条线是其不可约的成分。

参见

• 零因子
• 零乘积性质（英语：Zero-product property）
• 可除性 (环论)（英语：Divisor (ring theory)）
• 整环